- •Лекция 3.
- •1. Основные понятия.
- •2. Таблица основных интегралов.
- •3. Непосредственное интегрирование.
- •4. Замена переменной в неопределенном интеграле.
- •5. Интегрирование выражений, содержащих квадратный
- •6. Интегрирование по частям.
- •7. Интегрирование дробной рациональной функции
- •8. Интегрирование рациональных тригонометрических
- •9. Интегрирование иррациональных выражений.
Лекция 3.
Тема лекции: Неопределенный интеграл.
Оглавление:
1. Основные понятия.
2. Таблица основных интегралов.
3. Непосредственное интегрирование.
4. Замена переменной в неопределенном интеграле.
5. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен.
6. Интегрирование по частям.
7. Интегрирование дробной рациональной функции.
8. Интегрирование рациональных тригонометрических.
9. Интегрирование иррациональных выражений.
Цели лекции: Дать понятие неопределенного интеграла и способы их вычисления.
После изучения рассматриваемого материала Вы сможете вычислять неопределенные интегралы, использовать их в других разделах математики и специальных дисциплинах.
Информационные источники.
1.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления.
Т. 1,2. М.; Наука (любое издание).
2. Лычкин В.Н.Высшая математика. Учебное пособие. РГАЗУ, 2011.
3. Лычкин В.Н.Высшая математика в задачах. Учебное пособие. РГАЗУ, 2009.
1. Основные понятия.
Определение 1. Функция F(x) называется первообразной функцией
(первообразной) для функции f (x) на интервале (a; b), если на этом интер-
вале F′(x) = f(x).
Очевидно, что для функции f(x) ее первообразными будут функции
F(x) + C, где С – постоянная величина.
Определение 2. Совокупность первообразных F(x) + C называется
неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается символом
, то есть
.
Здесь функция f(x) подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтег-
ральным выражением, х – переменной интегрирования, С – постоянной ин-
тегрирования.
Действие вычисления неопределенного интеграла называется интег-
рированием.
Геометрически неопределенный интеграл представляет собой
семейство (множество) интегральных кривых F(x) + C, получаемых парал-
лельным переносом кривой y=F(x) вдоль оси Оу.
Неопределенный интеграл обладает следующими свойствами:
1. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегрально-
му выражению, то есть
.
2. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой
функции, сложенной с произвольной постоянной, то есть
.
3. Неопределенный интеграл от суммы нескольких функций равен
сумме неопределенных интегралов от слагаемых функций, то есть
.
4. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного
интеграла, то есть
.
2. Таблица основных интегралов.
Так как интегрирование функций обратно их дифференцированию, то каждая табличная формула производных приводит к соответствующей
формуле неопределенных интегралов, которые будем называть табличны-
ми.
(I) , где n ≠ - 1.
(II) .
(III) .
(IV) .
(V) .
(VI) .
(VII) .
(VIII) .
(IX) .
(X) .
(XI) .
(XII) .
(XIII) ,
где F(x) – первообразная для f(x).