1. События и операции над ними. Относительные частоты и их свойства

Первичным понятием ТВ, неопределяемым через другие понятия, является пространство элементарных исходов Ω. Обычно в качестве пространства элементарных исходов берутся единственно возможные неразложимые результаты эксперимента. Опр. Событием наз. произвольное подмножество А пространства элементарных исходов Ω, т.е. элементарные исходы, из которых состоит событие А, называются благоприятствующими событию А. Говорят, что событие А произошло, если в результате эксперимента наступает элементарный исход w A, т.е. благоприятствующий событию А. Опр. Все пространство элементарных исходов Ω, если его взять в качестве события, наз. достоверным событием, т.е. оно происходит в любом эксперименте (всегда). Опр. Пустое множество (т.е. множество, кот. не содержит ни одного элементарного исхода) наз. невозможным событием, т.к. оно никогда не происходит. Опр. Все остальные события, кроме Ω и , наз. случайными. Операции над событиями. Опр. Суммой событий А и В наз. объединение этих множеств , т.е. событие происходит , когда происходит хотя бы одно из событий А или В. Опр. Произведением событий А и В наз. пересечение множеств (А В), т.е. событие АВ порисходит, когда А и В происходят одновременно. Опр. Разностью событий А и В наз. разность множеств А\В. Событие А\В происходит <=>, когда происходит А и не происходит В.

2. Аксиомы теории вероятностей. Дискретные пространства элементарных исходов. Классическое определение вероятности.

Пусть Ω—пространство элементарных исходов. Предположим, что F—множество всех подмножеств Ω. Опр. Событие—это подмножество Ω, принадлежащее классу F. Любому событию ставится в соответствие действительное число, называемое вероятностью этого события, т.е. так, что при этом выполняются аксиомы ТВ. Аксиома 1 Вероятность любого события неотрицательна . Аксиома 2 Вероятность достоверного события равна 1, т.е. Аксиома 3(счетной аддитивности). Если события и при , то вероятность их суммы равна сумме вероятностей. Опр. Бесконечное множество наз. счетным, если элементы этого множества можно занумеровать натуральными числами. Все другие бесконечные множества называются несчетными. Опр. Пространство элементарных исходов наз. дискретным, если оно конечно или счетно, т.е. или . Любому элементарному исходу ( )ставится в соответствие число так, что при этом .

3. Элементы комбинаторики. Основные правила.

Лемма 1. Из m элементов а₁,…,а_m первой группы и n элементов b₁,…,b_n второй группы можно составить ровно m∙n упорядоченных пар вида (а_i, b_j), содержащих по одному элементу из каждой группы.

Лемма 2. Из n₁ элементов первой группы a₁, а₂,…, а_n1, n₂ элементов второй группы b₁, b₂,…, b_n2, и т.д. n_k элементов k-ой группы x₁, x₂,…, x_nk

можно составить ровно n₁∙ n₂∙…∙n_k различных упорядоченных комбинаций вида , содержащих по одному элементу из каждой группы. Леммы 1 и 2 наз. основными правилами комбинаторики.

4. Число выборок, свойства сочетаний, геометрические вероятности.

Общая таблица числа выбора:

		С возвращением
		Без возвращения
упорядоченная	Неупорядоченная	Выборка

Опр. Упорядоченная выборка без возвращения наз. размещением. Число размещений . Опр. Перестановкой из k элементов наз. совокупность этих же элементов, записанных в произвольном порядке. P_k-число перестановок из k элементов: . Опр. Произвольное k-элементное подмножество множества из n элементов наз. сочетанием из n элементов по k элементов. Сочетание—это неупорядоченная выборка объема k из n элементов. Обозначается число всех сочетаний из n элементов по k элементов через : , 0≤k≤n. Свойства сочетаний: 1) ; 2) . Док-во : 3) 4) Док-во: .