23. Характеристические функции и их свойства.

Опр1 Случайная величина , где i—мнимая единица, а X и Y—действительные случайные величины, называется комплекснозначной случайной величиной.

Опр2 Математическим ожиданием комплекснозначной случайной величины Z называется . Все свойства математического ожидания остаются справедливыми для комплекснозначных случайных величин.

Опр3 Комплекснозначные случайные величины Z₁=X₁+iY₁ и Z₂=X₂+iY₂ называются независимыми, если независимы соответственно .

Свойство комплекснозначных случайных величин.

Если комлекснозначные случайные величины Z₁ и Z₂—независимы, то математическое ожидание их произведения равно произведению математических ожиданий, т.е. .

Опр4 Характеристической функцией случайной величины называется функция .

Формулы для вычисления характеристической функции.

Случай 1. Пусть —дискретная случайная величина с рядом распределения

	x1	x2	…
Р	p1	p2	…

.

Случай 2. Пусть —целочисленная случайная величина с плотностью . Тогда характеристическая функция .

Свойства характеристических функций.

1. Характеристическая функция определена для любой случайной величины. При этом , .

Док-во: . . Поскольку , то

24. Закон больших чисел в форме Чебышева и Бернулли.

Опр1. Последовательность случайных величин Х₁, Х₂,… называется сходящейся по вероятности к случайной величине Х, если при . Обозначается .

Опр2. Говорят, что последовательность случайных величин Х₁, Х₂,… удовлетворяют закону больших чисел, если .

Теорема 1. Для любой случайной величины Х, имеющей конечную дисперсию DX, справедливо неравенство Чебышёва:

Для . .

Док-во:

.

Таким образом, , .

Теорема 2. (закон больших чисел в форме Чебышёва).

Пусть Х₁,Х₂,…—последовательность попарно независимых случайных величин, имеющих конечные дисперсии, ограниченные одной и той же постоянной, т.е. . Тогда эта последовательность удовлетворяет закону больших чисел.

Док-во: Обозначим через . Нужно доказать, что . .

25. Центральная предельная теорема.

Теорема. (Ц.П.Т.). Пусть Х₁,Х₂,…—последовательность независимых случайных величин, имеющих один и тот же закон распределения и конечное математическое ожидание а и дисперсию G². Тогда при вероятность того, что , где . N(x)—функция стандартного нормального распределения.

Замечание 1. Центральная предельная теорема обосновывает тот факт, что нормальное распределение встречается в природе чаще других.

Док-во: . .

5. 

Док-во: . Если Z=1 .

.

Следовательно, .

6. Если Х₁,Х₂,…,Х_n—независимые целочисленные случайные величины, то производящая функция .

Док-во: .

2. Характеристическая функция случайной величины , где a, b—некоторые числа. .

Док-во: .

3. Если случайные величины —независимы, то характеристическая функция суммы данных случайных величин равна произведению характеристических функций этих случайных величин, т.е. .

4. Если М , характеристическая функция случайной величины n раз дифференцируема, причем , где .

Отсюда (т.к. ).

Теорема 3. (Закон больших чисел в форме Бернулли).

Пусть μ—число успехов в n независимых испытаниях Бернулли с вероятностью успеха р в одном испытании, тогда .

Док-во: Введем случайные величины μ_i—число успехов в i-ом испытании. Тогда .

μi	1	0
P	p	q

, (т.к. ).

(т.е. дисперсия ограничена ). μ₁, μ₂,…, μ_n—независимы. По закону больших чисел в форме Чебышёва . . .

В чем смысл закона больших чисел в форме Бернулли?

Пусть в результате эксперимента может произойти или не произойти событие А. P(A)—вероятность события А в одном эксперименте. Эксперимент повторяется N раз, N(A)—число появлений события А в этих N экспериментах. —относительная частота появления события А. . N(A)=μ, .

Таким образом, закон больших чисел в форме Бернулли теоретически подтверждает устойчивость относительных частот, т.е. стабилизацию при большом числе испытаний относительной частоты вокруг вероятности (относительная частота ≈Р(А)).

Замечание 2. При больших , поэтому . ЦПТ можно записать в другой форме: .

Если взять B₁=]-∞,x₁[ ; B₂=]-∞,x₂[ ; … ; B_n=]-∞,x_n[, то .

—совместимая функция распределения случайных величин Х₁,Х₂,…,Х_n. Таким образом, .

Свойство 3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: .

Свойство 4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин рано сумме математических ожиданий слагаемых: .

Теорема 1. Математическое ожидание числа появлений события А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании: .

Будем рассматривать в качестве случайной величины Х число появлений события А в n независимых испытаниях. Очевидно, общее число Х появлений события А в этих испытаниях складывается из чисел появлений события в отдельных испытаниях. Поэтому если Х₁—число появлений события в первом испытании, Х₂—во втором,…, Х_n—в n-ом, то общее число появлений события . По свойству 4:

. А . Таким образом, получим .

Теорема 2. Дисперсия числа появлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность р появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятность появления и непоявления события в одном испытании: .

Случайная величина Х—число появлений события А в n независимых испытаниях. , где Х_i—число наступлений событий в i-ом испытании, взаимно независимые, т.к. исход каждого испытания не зависит от исходов остальных. .

. Т.к. MX₁=p. , то . Очевидно, что дисперсия остальных случайных величин также равна pq, откуда .

Опр. Начальным моментом порядка k случайной величины Х называют математическое ожидание случайной величины Х^k: . В частности, , . —> .

Опр. Центральным моментом порядка k случайной величины Х называют математическое ожидание величины (Х-МХ)^k. . В частности , —> .

Свойства плотности распределения.

1. .

2. Плотность распределения—неотрицательная функция: . Поскольку F(x)—неубывающая функция, то F’(x)≥0. Следовательно —неотрицательная функция.

3. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от -∞ до +∞ равен единице: . В формуле (1) подставим х=+∞, . Поскольку , то .

4. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение из множества В, равна интегралу по множеству В от плотности распределения. .

2. Для того чтобы необходимо и достаточно, чтобы случайные величины Х и Y были связанны линейной зависимостью. Т.е. с вероятностью 1.

3. Если случайные величины независимы, то они некоррелированы, т.е. r=0.

Док-во: Пусть Х и Y—независимы, тогда по свойству математического ожидания

Опр. Две случайные величины Х и Y называют коррелированными, если их коэффициент корреляции отличен от нуля.

Опр. Случайные величины Х и Y называют некоррелированными если их коэффициент корреляции равен 0.

Замечание. Из коррелированности двух случайных величин следует их зависимость, но из зависимости еще не вытекает коррелированность. Из независимости двух случайных величин следует их некоррелированность, но из некоррелированности еще нельзя заключить о независимости этих величин.

Коэффициент корреляции характеризует тенденцию случайных величин к линейной зависимости. Чем больше по абсолютной величине коэффициент корреляции, тем больше тенденция к линейной зависимости.

Опр. Коэффициентом асимметрии случайной величины Х называется число

Знак коэффициента асимметрии указывает на правостороннюю или левостороннюю асимметрию.

О пр. Эксцессом случайной величины Х называется число .

Характеризует сглаженность кривой распределения по отношению к кривой нормального распределения.

Перейдем к пределу при , т.е.

.▲

—формула Пуассона.

Полиномиальное распределение.

Предположим, что в результате испытания возможны k исходов E₁, E₂, …, E_k, P(E_i)=p_i, . Тогда вероятность того, что в n независимых испытаниях событие E₁ появиться r₁ раз, E₂ – r₂ раз, …, E_k – r_k раз вычисляется по формуле:

где Эта формула полиномиальное распределения, обобщающая формулу Бернулли.

Свойство 2. Для любых

Замечание. Если функция распределения F(x) непрерывная, то свойство выполняется и при замене знаков ≤ и < на < и ≤.

Свойство 3. , . , .

Свойство 4. Функция F(x) непрерывна слева. (т.е. ).

Свойство 5. Вероятность того, что значение случайной величины Х больше некоторого числа х, вычисляется по формуле. .

Достоверное событие {-∞<x<+∞} представим в виде двух несовместимых событий. . Найдем их вероятности .

Поскольку вероятность достоверного события равна единице, то . Отсюда .