2.8. Проблема автокорреляции

Помимо гомоскедастичности, еще одной из важных предпосылок построения регрессионной модели по МНК является независимость случайных отклонений, относящихся к разным наблюдениям. Формально это выражается в выполнении условия:

при i  j. (2.18)

Напротив, взаимная коррелированность случайных остатков называется автокорреляцией. Проблема автокорреляции – ее наличие и последствия –обычно характерна для данных типа временных рядов. Поэтому порядковый номер наблюдения i обычно совпадает с определенным моментом (интервалом) времени, к которому относится данное наблюдение, и обозначается через t.

Основными причинами возникновения автокорреляции являются ошибки спецификации (неправильный выбор формы модели или набора объясняющих переменных), цикличность изменения экономических показателей, эффект паутины (связанный с запаздывающей реакцией некоторых экономических показателей на изменение экономических условий).

Последствия автокорреляции

Последствия автокорреляции аналогичны последствиям гетероскедастичности. Здесь также оценки коэффициентов, полученные на основе обычного МНК, по-прежнему остаются состоятельными и несмещенными, однако перестают быть эффективными, и, следовательно, являются неточными.

Дисперсии и стандартные ошибки регрессии и ее параметров, напротив, являются смещенными. Поэтому все выводы, получаемые на основе t- и F-статистик по статистической значимости параметров и регрессии в целом, являются недостоверными. Вследствие этого ухудшаются прогнозные качества модели.

Обнаружение автокорреляции

Наиболее простым методом усмотрения автокорреляции является графический метод.

В одном из его вариантов рассматриваются эмпирические отклонения e_i (e_t) в зависимости от порядкового номера наблюдения i (момента t). Если на графике усматриваются некоторые взаимосвязи между отклонениями, как, например, на рис. 2.2, а-в, то можно сделать вывод о наличии автокорреляции в модели. Напротив, отсутствие зависимости на рис. 2.2, г, по-видимому, свидетельствует и об отсутствии автокорреляции.

Другая модификация графического метода предполагает наглядное исследование зависимости e_t от e_t-1. Рис.2.3, на котором показан пример такой зависимости, отражает наличие автокорреляции, поскольку все точки сосредоточены в первой и третьей четвертях. Напротив, из хаотического расположения точек вокруг начала координат следует отсутствие автокорреляции между соседними остатками.

Графический метод позволяет лишь приближенно оценить присутствие автокорреляции. Среди формальных методов проверки модели на наличие автокорреляции наиболее распространенным является критерий Дарбина-Уотсона, позволяющий выявить взаимозависимость между соседними остатками. Наблюдаемое значение критерия рассчитывается по формуле:

, (2.19)

где n - число наблюдений (наблюдаемых моментов времени).

Нетрудно показать, что значения критерия Дарбина-Уотсона принадлежат промежутку от 0 до 4: .

Для принятия решения об отсутствии или наличии автокорреляции определяют значения d_U и d_L (приложение, табл. П.3), которые при определенном уровне значимости зависят от числа объясняющих переменных m и количества наблюдений n. Затем на отрезке [0, 4] откладывают соответствующие интервалы (рис.2.4) и рассчитанное значение DW. В зависимости от того, какому интервалу принадлежит DW, делают вывод об автокорреляции.

При попадании значения DW в зону неопределенности невозможно сделать однозначного заключения о наличии автокорреляции. Но если заключение все же необходимо сделать, то лучше признать, что она присутствует.

Критерий Дарбина-Уотсона имеет ряд ограничений:

• оцениваемое уравнение регрессии должно содержать свободный член;

• в качестве объясняющих переменных модели не могут выступать значения зависимой переменной, взятые с запаздывающим лагом, например, y_t-1, y_t-2 и т. д.

Пример 2.3.

Пусть для двухфакторной регрессионной модели были рассчитаны параметры и определены эмпирические остатки (второй столбец табл.2.1). Сделаем заключение о наличии или отсутствии автокорреляции в остатках с помощью критерия Дарбина-Уотсона. Процедуру расчета оформим в таблице:

Таблица 2.1.

Расчет значения критерия Дарбина-Уотсона

t
1	-0,264	0,070	-	-
2	2,026	4,105	2,290	5,244
3	2,455	6,027	0,429	0,184
4	-0,323	0,104	-2,778	7,717
5	-0,168	0,028	0,155	0,024
6	-0,496	0,246	-0,328	0,108
7	-0,288	0,083	0,208	0,043
8	1,298	1,685	1,586	2,515
9	2,410	5,808	1,112	1,237
10	1,957	3,830	-0,453	0,205
		21,916		17,277

Таким образом, значение критерия: .

Так как в нашем случае m=2, а n=10, то по таблице критических точек критерия Дарбина-Уотсона для уровня значимости 0,05 находим d_U =1,64; d_L =0,70. Рассчитанное значение критерия попадает в интервал [d_L, d_U], то есть имеет место неопределенный случай.

Устранение автокорреляции

Так как автокорреляция чаще всего вызвана неправильной спецификацией модели, то необходимо в первую очередь скорректировать саму модель. Возможно автокорреляция вызвана отсутствием важной объясняющей переменной. Следует попытаться определить этот фактор и включить его в модель. Также можно попробовать изменить форму зависимости, уточнить период наблюдения или разбить его на части и т.д.

Однако если все разумные попытки изменения спецификации модели исчерпаны, а автокорреляция по-прежнему имеет место, то можно предположить, что она обусловлена какими-то внутренними свойствами ряда случайных остатков. В этом случае можно воспользоваться каким-либо авторегрессионным преобразованием.

Одним из таких преобразований является авторегрессионная схема первого порядка AR(1).

Предположим, что регрессионные остатки связаны соотношением:

, (2.20)

где _t – случайная составляющая, удовлетворяющая требованиям стандартного МНК, а  - известный параметр, причем ||<1. При этом говорят, что имеет место авторегрессия первого порядка (ошибка в текущий момент времени t зависит только от предыдущего ее значения).

Рассмотрим уравнение

. (2.21)

Если оно справедливо для момента времени t, то справедливо и для момента t-1:

Умножим все уравнение на :

(2.22)

Вычтем (2.22) из уравнения (2.21), при этом получим:

или

, (2.23)

где .

Параметры уравнения (2.23) могут быть определены с помощью стандартного МНК, поскольку _t удовлетворяет всем необходимым условиям.

Авторегрессионное преобразование первого порядка AR(1) естественным образом может быть обобщено на преобразования более высоких порядков AR(2), AR(3) и т.д.:

,

.

Остается невыясненным вопрос о том, чему принять равным параметр . Существует несколько методов оценки этого значения.

Один из методов основан на приближенном равенстве

.

При большом числе наблюдений оценка параметра, полученная этим методом, достаточно точна.

Другим возможным методом оценивания параметра является итеративный процесс, называемый методом Кохрана-Оркатта.

Опишем алгоритм этого метода на примере парной регрессии (2.21) и авторегрессионной схемы AR(1).

А. На основе МНК оценивается исходная регрессия и определяются оценки e_t случайных отклонений .

Б. На основе массива полученных оценок e_t оценивается параметр регрессии (2.20). Пусть - оценка этого параметра.

В. На основе данной оценки строится регрессия

,

с помощью которого оцениваются параметры и (значение в этом случае известно).

Г. Найденные оценки подставляются в исходную регрессию. Вновь вычисляются оценки случайных отклонений и процесс возвращается к этапу Б.

Описанная процедура продолжается до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность, т.е. когда разность между вновь найденным значением и значением , полученным на предыдущем шаге не станет меньше некоторой наперед заданной величины.