Пример 2.4.

Изучается полезность y потребления двух видов товаров, объемы которых обозначим x₁ и x₂. В результате исследований были получены следующие данные:

x1	17,1	18,65	17,09	19,28	23,24	28,11	30,29
x2	3,96	5,48	4,37	4,51	4,88	6,37	8,96
y	62,8	65,0	63,9	67,5	71,3	76,6	86,3

При построении соответствующей линейной регрессионной модели у по х₁ и х₂ с использованием функции ЛИНЕЙН получим следующие результаты:

1,782159	1,023863	38,18631
0,851268	0,271572	2,93344
0,973546	1,685543	#Н/Д
73,60372	4	#Н/Д
418,2244	11,36422	#Н/Д

Таким образом, оцененное уравнение регрессии имеет вид:

Одновременно анализируя матрицу парных корреляций между переменными,

	y	x1	x3
y	1
x1	0,97188	1
x2	0,93784	0,88262	1

можно заметить, что коэффициент корреляции между переменными x₁ и x₂ достаточно велик. Это свидетельствует о наличии мультиколлинеарности модели.

Последствием мультиколлинеарности (и очередным подтверждением ее наличия) является то, что коэффициент регрессионного уравнения оказывается незначимым. Для него значение , а критическое значение критерия Стьюдента для соответствующего числа степеней свободы и уровня значимости =0,05 равно 2,77. При =0,01 незначимым оказывается и коэффициент .

После исключения переменной x₂ из уравнения все коэффициенты ( и ) будут значимыми. Помимо упомянутых недостатков перехода к упрощенному регрессионному уравнению происходит также снижение общего качества модели (значение R² уменьшается от 0,97 до 0,94).

2.11. Фиктивные переменные в регрессионных моделях

В регрессионных моделях в качестве объясняющих переменных часто приходится использовать не только количественные, но и качественные переменные. Например, спрос на некоторый товар может определяться ценой данного товара, ценой на заменители данного товара, ценой дополняющих товаров, доходом потребителей и т. д. (эти показатели определяются количественно). Но спрос может также зависеть от вкусов потребителей, их ожиданий, национальных и религиозных особенностей и т.д. Эти показатели представить в численном виде нельзя. Возникает проблема отражения в модели влияния таких переменных на исследуемую величину.

Часто в моделях влияние качественного фактора выражается в виде фиктивной (искусственной переменной), которая отражает два противоположных состояния качественного фактора. Например, "фактор действует" - "фактор не действует", "курс валюты фиксированный" - "курс валюты плавающий", "сезон летний" - "сезон зимний" и т. д. В этом случае фиктивная переменная может выражаться в двоичной форме:

Переменная Ф называется фиктивной (искусственной, двоичной, «манекеном») переменной.

Таким образом, кроме моделей содержащих только количественные объясняющие переменные (обозначаемые х), в регрессионном анализе рассматриваются также модели, содержащие и качественные переменные (обозначаемые Ф).

Рассматриваются несколько типов моделей, содержащих качественные переменные.

1) ANOVA - модели (модели дисперсионного анализа).

Так называются регрессионные модели, содержащие лишь качественные объясняющие переменные. Например, пусть исследуется зависимость уровня заработной платы (у) от уровня образования. Вводится фиктивная переменная:

Тогда зависимость можно выразить моделью парной регрессии:

Коэффициент а₀ определяет среднюю заработную плату при отсутствии высшего образования. Коэффициент указывает, на какую величину отличаются средние заработные платы при наличии и при отсутствии высшего образования у претендентов. Проверяя статистическую значимость коэффициента с помощью t-статистики, можно определить влияет или нет наличие высшего образования на начальную заработную плату.

ANOVA-модели в экономике крайне редки. Гораздо чаще встречаются модели, содержащие как качественные, так и количественные признаки.

2) ANCOVA-модели (модели ковариационного анализа).

Здесь объясняющие переменные, входящие в модель, носят как качественный, так и количественный характер.

а) простейшие ANCOVA-модели содержат фиктивную переменную с двумя альтернативами. Например, пусть у- заработная плата сотрудника фирмы, х - стаж сотрудника, Ф - пол сотрудника. Фиктивная переменная имеет вид:

Тогда ожидаемое значение заработной платы сотрудников при х - годах трудового стажа будет:

.

При этом отдельно для мужчин имеем уравнение:

,

а для женщин - уравнение:

.

б) модели ANCOVA при наличии у качественных переменных более двух альтернатив.

В данном случае имеет место следующее общее правило:

Если качественная переменная имеет k альтернативных значений, то при моделировании используются только (k-1)-фиктивных переменных.

Рассмотрим пример. Пусть исследуется зависимость стоимости квартиры от жилой площади и этажа, на котором расположена квартира. При этом "этажность" подразделяется на три альтернативы: первый этаж дома - последний этаж дома - средний этаж. Введем в рассмотрение две фиктивные переменные:

переменная х определяет жилую площадь, у - стоимость квартиры.

Тогда модель будет выглядеть следующим образом:

.

Далее определяются оценки параметров регрессии , , , .

Если построенная модель окажется качественной, то образуются следующие зависимости стоимости квартиры от ее жилой площади:

- оценка стоимости квартир, расположенных на первых этажах домов,

- оценка стоимости квартир, расположенных на последних этажах домов,

- оценка стоимости квартир, расположенных на средних этажах домов.