- •Содержание
- •5.8. Задачи для самостоятельной работы 29
- •5.9. Вопросы для самопроверки 31
- •6.11.3. Вопросы для самопроверки 40
- •7.6. Задачи для самостоятельной работы 46
- •Введение
- •1. Элементы векторной алгебры
- •1.1. Векторы в евклидовом пространстве
- •1.2. Проекция вектора
- •1.3. Декартовы прямоугольные координаты
- •1.4. Координатное представление векторов
- •1.5. Операции над векторами, заданными в координатной форме
- •1.6. Скалярное произведение векторов
- •1.6.1. Свойства скалярного произведения:
- •1.6.2. Скалярное произведение векторов, заданных координатами
- •1.6.3. Угол между векторами
- •1.6.4. Условия коллинеарности и перпендикулярности векторов
- •1.7. Векторное произведение двух векторов
- •1.7.1. Свойства векторного произведения
- •1.7.2. Координатная форма записи векторного произведения
- •1.8. Смешанное (векторно - скалярное) произведение векторов
- •1.8.1. Свойства смешанного произведения
- •1.8.2. Координатная форма записи смешанного произведения
- •1.9. Двойное векторное произведение трех векторов
- •1.10. Вопросы для самопроверки
- •Свойства скалярного произведения.
- •Координатная форма записи векторного произведения.
- •2. Понятие об уравнениях линий и поверхностей
- •3. Прямая линия
- •3.1. Параметрические и канонические уравнения прямой
- •3.2. Общее уравнение прямой на плоскости
- •3.7. Вопросы для самопроверки к разделу 3
- •4.2. Поворот осей координат
- •5. Кривые второго порядка
- •5.1. Окружность
- •5.2. Эллипс
- •5.3. Гипербола
- •5.4. Директрисы эллипса и гиперболы
- •5.5. Парабола
- •5.6. Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах
- •5.7. Решение типовых примеров
- •5.8. Задачи для самостоятельной работы
- •Ответы к 5.8
- •5.9. Вопросы для самопроверки
- •Ответы к 5.9
- •Окружность.
- •6. Плоскость и прямая в пространстве
- •6.1. Общее уравнение плоскости
- •6.2. Уравнение в отрезках
- •6.3. Векторное и нормальное уравнение плоскости
- •6.4. Расстояние от точки до плоскости
- •6.5. Взаимное расположение двух плоскостей
- •6.6. Пучок плоскостей
- •6.7. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
- •6.8. Уравнение прямой в пространстве
- •6.8.1. Общие уравнения прямой
- •6.8.2. Параметрические и канонические уравнения прямой
- •6.8.3. Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки
- •6.9. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых
- •6.10. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости
- •6.11. О решение задач аналитической геометрии на плоскость и прямую
- •6.11.1. Примеры решения типовых задач
- •6.11.2. Задачи для самостоятельного решения
- •6.11.3. Вопросы для самопроверки
- •Ответы к 6.11.2
- •Ответы к 6.11.3
- •7. Краткое описание различных видов поверхностей второго порядка
- •7.1. Распадающиеся поверхности
- •7.2. Цилиндрические поверхности
- •7.3. Конусы второго порядка
- •7.4. Эллипсоиды и гиперболоиды
- •7.5. Параболоиды
- •7.6. Задачи для самостоятельной работы
- •Ответы к 7.6
- •Контрольное задание
- •Контрольные вопросы
- •7. Условия коллинеарности и перпендикулярности векторов.
- •Ответы к контрольному заданию
- •Литература
5.3. Гипербола
Гиперболой называется геометрическое место точек на плоскости, для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух данных точек F1, F1, называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная, равная 2а и меньшая, чем расстояние между фокусами 2с.
Поступая также, как и в случаи эллипса, получим каноническое уравнение гиперболы: (5.3.1), где в2 = с2 - а2
Гипербола изображена на рис 5.4.
Прямые и (5.3.2)
называются асимптотами. Эксцентриситет гиперболы равен (5.3.3)
Для любой гиперболы >1. Гиперболы определяемые уравнениями
и (5..3.4)
называются сопряженными.
На рис. 5.4 изображена пунктиром гипербола
5.4. Директрисы эллипса и гиперболы
Директрисой эллипса (гиперболы), соответствующей данному фокусу F, называется прямая d, перпендикулярная к фокальной оси кривой, отстоящая от центра на расстояние и лежащая по ту же сторону от центра, что и фокус F (рис. 5.5 и 5.6).
Таким образом, и у эллипса и у гиперболы - две директрисы. Уравнение директрис d1, d2 (соответствующих фокусам F1, F2) будет соответственно
(5.4.1.)
Для эллипса ( <1) директрисы удалены от центра на расстояние, большее а.
Для гиперболы ( >1) директрисы удалены от ее центра на расстояние, меньшее а.
5.5. Парабола
Параболой называется геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от фиксированной точки этой плоскости, называемой фокусом параболы, и фиксированной прямой, называемой ее директрисой.
Каноническое уравнение параболы: y2=2рх, (5.5.1)
где р- расстояние от фокуса до директрисы.
Парабола показана на рис. 5.7
Уравнение директрисы: (5.5.2)
Эксцентриситет параболы =1.
5.6. Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах
Уравнение в полярных координатах параболы, эллипса и (ветви) гиперболы имеет вид:
r (5.6.1)
где r- полярный радиус точки М.
- угол наклона FM к полярной оси, т.е. полярный угол, величина р - фокальный параметр кривой - длина перпендикуляра, восстановленного из фокуса до пересечения с кривой. Фокальный параметр эллипса и гиперболы есть ; (5.6.2)
Для параболы фокальный параметр есть число, равное расстоянию между фокусом и директрисой. (см. рис. 5.5: 5.6: 5.7)
Формула (5.6.1) используются во многих задачах прикладного характера.
5.7. Решение типовых примеров
Пример 1. Составить каноническое уравнение эллипса, зная, что большая его ось 2а=10 и эксцентриситет .
Решение: По формуле (5.2.4) с= а =5×0.8 = 4, а b находим из равенства b2 = а2 - с2 = 25 - 16 = 9b =3. Подставляя найденные значения а=5, b=3 в уравнение (5.2.2), получим искомое уравнение эллипса
Пример 2. Написать уравнение гиперболы по данной полуоси а = 1 и полуфокусному расстоянию с = 2.
Решение: Из равенства а2 + b2 = с2 найдем полуось b: 1 + b2 = 4 b = .
Искомое уравнение гиперболы будет иметь вид
Пример 3. Найти координаты фокуса и уравнение директрисы параболы х = -5у2
Решение: Перепишем уравнение так: и, сравнивая его с уравнением у2 = -2рх, получим . Координаты фокуса и уравнение директрисы
Пример 4. Найти координаты вершины параболы, заданной уравнением х=у2+4у+1. Написать уравнение оси симметрии.
Решение: Найдем координаты вершины параболы: х = (у2 + 4у + 4) - 4 + 1 х+3=(у+2)2. Следовательно вершина параболы лежит в точке (-3,-2).
Уравнение оси параболы у = -2.
Пример 5. Найдите координаты точки М до поворота осей, если после поворота их на 1350 точка М имеет координаты (2,-3).
Решение: По формулам (4.2.1) преобразования координат получим:
х= 2 cos1350 - (-3) sin1350
y= 2 sin1350 +(-3) cos1350 ,
отсюда , , следовательно, координаты до поворота осей .