5.8. Задачи для самостоятельной работы

1. Исследовать какие линии определяются уравнениями:

а) 2x²+2y²+6x-3y-8=0

в) x²+y²-2y+1=0

с) x²+y²+2x+10=0

2. Выразить через эксцентриситет полуоси эллипса.

3. Дано уравнение эллипса x²+16y²=16. Найти длину его осей, координаты фокусов и эксцентриситет.

4. Написать каноническое уравнение гиперболы и уравнения ее асимптот по данной полуоси b=5 и эксцентриситету .

5. Найти координаты фокуса и уравнения директрисы параболы y²=5x.

6. Исследовать кривую, приведя ее уравнение к каноническому виду: 4x²+y²-8x+2y-11=0.

7. Даны координаты вершин треугольника АВС: (0,0), (2,2), (-2,2). Точка М движется так, что сумма квадратов ее расстояний от трех сторон треугольника остается все время постоянной, равной 16. Найти траекторию точки М.

8. Эллипс касается оси абсцисс в точке А(7,0) и оси ординат в точке В(0,4). Составить уравнение эллипса, если известно, что оси его параллельны осям координат.

9. Написать уравнения двух сопряженных гипербол зная, что расстояние между директрисами первой из них равно 7,2 и расстояние между директрисами второй равно 12,8.

Указание: Директрисами гиперболы называются прямые, перпендикулярные к фокальной (действительной) оси и отстоящие от центра на расстоянии . Их уравнения .

10 Составить уравнение параболы, симметричной относительно оси ординат, отсекающей на оси абсцисс отрезки а и на оси ординат отрезок равный b.

11. Относительно некоторой системы координат точка А имеет координаты x=7, y=-5. Вычислить координаты этой же точки при условии, что начало координат перенесено в точку О(3,-5).

Ответы к 5.8

1. а) Окружность с центром в точке С и R= ;

Решение: 2x² + 2y² + 6x - 3y - 8 = 0 x² + y² + 3x- y - 4 = 0

в) Точка С(0,1);

с) Никакой линии не определяет, так как не существует ни одной пары действительных чисел x и y, удовлетворяющих этому уравнению.

2. 

3. F₁(- ), F₁( ); 2а=8; 2в=2; .

4. ; ;

5. ; .

6. . (1,-1) – координаты центра а = 2, b = 4.

7. Эллипс с центром в точке (0,1) и с полуосями и , направленными параллельно осям координат.

8. 

9. 

10. 

11. (4;0).

5.9. Вопросы для самопроверки

1. Как преобразуются координаты любой точки М(x,y), если:

а) оставить ось абсцисс без изменения, переменить направление на оси ординат;

б) за ось абсцисс принять прежнюю ось ординат и за ось ординат - прежнюю ось абсцисс ?

2. Как нужно изменить систему координат, чтобы одновременно абсциссы всех точек уменьшились на три единицы, а ординаты увеличились на три единицы ?

3. Какую форму принимает эллипс, если =0.

4. Какую форму принимает эллипс, если =1

5. Равносторонняя гипербола имеет вид . Записать уравнения асимптот. Найдите угол между этими асимптотами.

6. Зависит ли форма гиперболы от угла наклона асимптоты к вещественной оси, т.е. от величины отношения , если да, то как ?

7. Найти координаты фокусов и уравнения директрис уравнений парабол: y² = -2px и x² = -2py.

8. Эллипс с полуосями а и в перемещен так, что центр его совпал с точкой с(x₁,y₁), а оси остались параллельными осям координат. Какое уравнение изображает эллипс в этом новом положении ?

9. Какими особенностями должно обладать уравнение Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0, чтобы соответствующая кривая была параболой:

а) с осью, параллельной оси абсцисс;

б) с осью, параллельной оси ординат ?