- •1.Числовые последовательности
- •2.Предел функции
- •3.Раскрытие неопределенностей 0/0.
- •4.Первый замечательный предел
- •5.Второй замечательный предел.
- •21. Асимптоты графика функции(вертикальные и наклонные)
- •22.Правило Лопиталя (раскрытие неопределённостей):
- •28. Вычисление неопределенного интеграла вида
- •32.Свойства неопределенных интегралов
- •33.Площадь криволинейной трапеции (определение и формула для вычисления площади)
- •34.Геометрический смысл определенного интеграла. Вычисление площади фигуры, ограниченной эллипсом.
- •Замена переменной в определенном интеграле
- •39. Теорема Абеля.
- •40. Степенные ряды и радиус сходимости.
21. Асимптоты графика функции(вертикальные и наклонные)
22.Правило Лопиталя (раскрытие неопределённостей):
Теорема. Пусть функции f(x) и (x) имеют в окрестности точки x0 непрерывные производные f '(x) и '(x) и пусть f(x0) = (x0) = 0 и (x) → 0, '(x) → 0 в окрестностях точки x0, кроме, быть может самой точки x0. Пусть далее существует предел . Тогда
Доказательство. Зафиксируем близкое к x0 значение x → x0 и рассмотрим вспомогательную функцию
Эта функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля на интервале [x0 , x] ибо f(t) и (t) дифференцируемы по условию и Ф(x0) = 0 (так как f(x0) = (x0) = 0 и Ф(x) = 0. Поэтому между x и x0 найдется такая точка x, что Ф'(х) = 0, т.е. , откуда
(1)
Так как и при x→x0 также Е→x0, то , и согласно равенству (1) находим:
Теорема доказана. Если в окрестности точки x0 функции f(x) и (x) имеют вторые производные, причем f '(x0) = '(x0) = 0 и '(x) → 0, ''(x) → 0, и существует , то, применяя правило Лопиталя к отношению , получаем
23.
Неопред.интеграл (первообразная). Функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x) на множестве X R, если в каждой точке этого множества F'(x) = f(x).
f(x)=x2 F(x)= x3/3+C.
Формула Ньютона – Лейбница.
Из теоремы о существовании первообр. можно получить формулу для вычисления определенного интеграла:
рассм. I(x)=xa(t)dt
из св-в первообр. следует, что любая другая первообр. F(x) ф-и (x) отличается от I(x) на const, т.е. имеет место равенство
I(x)=xa(t)dt=F(x)+C
полагаем x=a I(a)=aa(t)dt=0=F(a)+C C=–F(a) и
xa(t)dt=F(x)–F(a)
полагаем x=b ba(x)dx=F(b)–F(a) (2)
формула Ньютона-Лейбница
F(x) – какая-либо первообр. ф-и (x)
Определенный можно вычислять по формуле Ньютона-Лейбница, когда подынтегральная ф-я (x) имеет F(x) в классе элем. ф-й и при этом F(x) дифференцируема на [a,b].
24.
Непосредственное интегрирование, замена переменной. Непосредственное интегрирование при котором интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применяя свойств интеграла, приводится к одному или нескольким табличным интегралам, наз. непосредственным интегрированием.
**** Наиболее общим приемом интегрирования функций является метод подстановки, который применяется тогда, когда искомый интеграл не являяется табличным, но путем ряда элементарных преобразований он может быть сведен к табличному. Метод подстановки основан на применении следующей формулы:
где x=(t) - дифференцируемая функция от t, производная которой '(t) сохраняет знак для рассматриваемых значений переменных. Сущность применения этой формулы состоит в том, что в данном интеграле переменную x заменяют переменной t по формуле x=(t) и, следовательно, dx произведением '(t)dt. Приведем доказательство этой формулы. Продифференцировав левую часть форммулы, имеем
Продифференцировав правую часть форммулы, имеем
Таким образом формула справедлива. Часто употребляется обратная замена переменной, т.е. подстановка t='(x ), dt='(x)dx Пример: Необходимо найти интеграл
Применим подстановку: u=arctg(x), тогда
Подставляя полученные значения в искомый интеграл получим:
Теперь подставив значение u в полученное выражение получим решение искомого интеграла:
25.