28. Вычисление неопределенного интеграла вида

Интегралы типа ∫sin^mх•cosⁿx dx

Для нахождения таких интегралов используются следующие приемы:

1)  подстановка sinx=t, если n - целое положительное нечетное число;

2)  подстановка cosx=t, если m - целое положительное нечетное число;

3)  формулы   понижения   порядка:   cos²x=1/2(1+cos2x), sin²x =1/2(1-cos 2x), sinx-cosx =1/2 sin2x, если тип - целые неотрицательные четные числа;

4) подстановка tg х=t, если m+n - есть четное отрицательное целое число.

31.

Универсальная тригонометрическая подстановка. Переход в подынтегральной функции к переменной преобразует R(sin x, cos x) в функцию, рационально зависящую от t;

Выразим sin x, cos x, dx через t: (делим на ) ; (делим на ) . В результате все компоненты подынтегральной функции выражаются через функции, рационально зависящие от t.

32.Свойства неопределенных интегралов

1. df(x)dx=f(x)dx

Док-во: Рассмотрим f(x)dx=F(x)+C

d(F(x)+C)=dF(x)=F'(x)dx=f(x)dx

2. dF(x)=F(x)+C

Док-во: dF(x)=F'(x)dx=f(x)dx

f(x)dx=F(x)+C

3. kf(x)dx=kf(x)dx

Пусть F(x) – первообразная для ф-ции f(x), т.е. F'(x)=f(x). Тогда kF(x) – первообразная для ф-ции kf(x): (kF(x))'=kF'(x)=kf(x).

Из определения следует, что: kf(x)dx=k[F(x)+C]=kF(x)+C₁=kf(x)dx, где C₁=kC.

4. (f₁(x)+f₂(x))dx=f₁(x)dx+f₂(x)dx

Док-во: Пусть F₁(x) и F₂(x) являются первообразными для f₁(x) и f₂(x). Тогда ф-ции F₁(x)+F₂(x) являются первообразными для f₁(x)+f₂(x). Следовательно, f₁(x)dx+f₂(x)dx=[F₁(x)+C₁]+[F₂(x)+C₂]=[F₁(x)+F₂(x)]+[C₁+C₂]=

=[F₁(x)+F₂(x)]+C=(f₁(x)+f₂(x))dx

Свойства 3 и 4 – свойства линейности неопределенного интеграла.

33.Площадь криволинейной трапеции (определение и формула для вычисления площади)

Как следует из геометрического смысла определенного интеграла:

S_{крив. трап.}(ограниченной) = _a∫^b f(x)dx, f(x)≥0, x[a;b]

Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную сверху y=f(x), снизу y=(x).

S_{крив. трап.}= _a∫^b f(x)dx - _a∫^b (x)dx = _a∫^b [f(x) - (x)]dx

S_{крив. трап.}= S₁ - S₂ = _a∫^b [f(x) - (x)]dx

Если криволинейная трапеция задана прямыми y=c; y=d (c<d)

x=₁(y); x= ₂(y) (₁(y)≥₂(y) на [c;d])

S_{крив. трап.}= _c∫^d [₁(y) - ₂(y)]dx

Если границы криволинейной трапеции заданы параметрическими уравнениями x=(t) и y=(t); ≤t≤;

() = a; () = b, то при определении площади делается переход к переменной t.

Пример: Найти площадь фигуры ограниченной эллипсом

x=a cos t, y=b sin t.

Здесь /2≤t≤0

¼ S = _/2∫⁰ b sin t*(- a cos t) dt = -ab _/2∫⁰ sin² t dt = ab/4. Значит S = ab.

+ определ.интеграл

34.Геометрический смысл определенного интеграла. Вычисление площади фигуры, ограниченной эллипсом.

П .1 Понятие опр. интеграла. Рассмотрим задачу определение площади криволинейной трапеции. y=f(x) 0x; x=a и x=b. Для этого разобьем площадь на n полос прямыми x=x_i, где x=a<x_i<…<X_n=b/ S=∑[от i=1 до n] ∆S_i , где ∆S_i – площадь полоски с основанием ∆x_i= x_i+1 - x_i и меняется от i=0, i-1. ∆x_i h_i = f(ξ_i); (1) S≅∑[от i=1 до n] f(ξ_i)∆x_i (2) lim≅∑[от i=1 до n] f(ξ_i)∆x_i λ0; λ= max ∆x_i в данном разбиении. Если этот предел существует и конечен, а также не зависит от т. ξ, и от характера разбиения отрезка [a;b] на ∆x_i то этот предел численно равен площади криволинейной трапеции. Таим образом при решении задачи о площади, мы приходим к новому понятию. Дадим более строгое определение этого понятия. Пусть y=f(x) на [a;b]. Разобьём [a;b] на n частей. X₀ =a, X₁, X₂, X_n=b.∆x_i = x_i – x_n-1 ; i=1…n Выберем на отрезке (x_i-1 – x_i) ξ_i и найдём значение в этой т. f(ξ_i) (3) ∑[от i=1 до n] f(ξ_i)∆x_i – интегральная сумма от ф-ции f(x) на отрезке[a;b] Обозначим через λ_τ = max∆x_i и перейдём к lim[λ_τ0] ∑[от i=1 до n] f(ξ_i)∆x_i .При условии существования этого предела, его н/з опр. интегралом ф-ции f(x) на [a;b] и обознач. ∫[a;b]f(x)dx. Определим геометрический смысл опр. интеграла. Если f(x)>0 на [a;b], то значение орп. Интеграла равно S криволинейной трапеции, огр. ф-ей f(x). Сформулируем условие сущ. опр. инт. Если f(x) непрерывна на [a;b], то существует∫[a;b]f(x)dx в виде конеч. Числа. Это следут из существования площади криволинейной трапеции, огр. Непрерыв. Ф-ции. Замечание: Если f(x) на [a;b] имеет конечное число точек разрыва 1-ого рода, то опр. интеграл от этой ф-ции также существует.

Найти площадь фигуры ограниченной эллипсом

x=a cos t, y=b sin t.

З десь /2≤t≤0

¼ S = _/2∫⁰ b sin t*(- a cos t) dt = -ab _/2∫⁰ sin² t dt = ab/4. Значит S = ab.

36.