6.Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки.
Поле наз. потенциальным, если для этого силового поля выполняется соотношение: =- U
F-сила,U-потенц. энергия взаимодействия материальной точки с потен. полем.
m
, m(
,
(
)=(
)=
=
,
Изменение кинет. энергии в единицу времени равно мощности или работе совершаемой в единицу времени наз. материальной точкой.
=-
U
,
=
-
,
(дифер-е
сложной формы)
W=const- полная энергия
7.Теорема об изменении импульса механ. Системы.
+
+
+
+
=
, p=
,
Изменение импульса в единицу времени мех. сис-мы равно суммарному действию внешних сил на эту мех. сис-му.
Следствие:
1.
,
,
=
Закон сохранения суммарного импульса.
2. Определение центра масс мех. сис-мы:
и
тогда уравнение
примет вид:
.
- равномерное прямолинейное движение.,
или закон сохранения скорости центра
масс механ системы. Система центра масс
или система центра инерции.
при
получим :
;
,
сумма импульсов механич системы равна
0:
8. Выделение движения центра масс и относительного движения механической системы.
Центр масс – воображаемая точка ,которая как бы обладает массой, равной массе всей системы и положение которой определяется радиус-вектором: и тогда уравнение примет вид: . - равномерное прямолинейное движение., или закон сохранения скорости центра масс механ системы. Система центра масс или система центра инерции. при получим : ; , сумма импульсов механич системы равна 0:
9. Теорема об изменении момента импульса механической системы.
Воспол
теоремой об измен физических величин
в механич системе
получим :
умножим первое уравнение слева векторно
на
а второе уравнение слева векторно
умножим на
и в результате получим:
;
;
;
;
;
;
тогда
изменение момента импульса механич
системы в единицу времени обусловлено
действием момента внешних сил. Следствие
1:
если отсутствует действие внешних сил:
– закон сохранения момента импульса
механич системы. Следствие
2: если
параллельны
,
тогда момент силы равен нулю:
10. Теорема об изменении кинетической энергии механической системы.
умножим
первое уравнение на
а второе на
и в результате получим:
;
;
T=T1+T2-кинетическая
энергия механической системы.
-
теорема об изменении кинетической
энергии. Изменение кинетичекой энергии
в единицу времени механической системы
обусловлено работой совершающей в
единицу времени внешними и внутренними
силами.
T1+T2)=
;
;
воспользуемся тем фактом,что силовые
поля являя потенциальными полями, это
значит что для всех полей выполн след
соотнош:
;
;
;
(
=
,
-где
-
энергия взаимодействия механической
системы с внешним полем
где
;
;
;
;
где
-
потенциальная энергия взаимод двух
точек;
-
потенциальная энергия системы взаимод
с внешним полем.
;
W-полная
энергия. W=T1+T2+T3+
;
W=
;
W=T+
;
-
закон сохранения энергии. Следствие
1:
если внешнее поле отсутствует, то полная
энергия будет состоять из: W=T+
,
при
Следствие
2:
если центр масс выразить через радиус:
;
;
;
W=
-
полная энергия механической системы.
-
кинетическая энергия механической
системы, как целая, когда определяется
движение центра масс механической
системы.;
- приведенная масса. Кинетическая
энергия механической системы, как
материальная точка с приведенной массой
и относительной скоростью
-
потенциальная энергия.
12
. Описание упругих колебаний материальной
точки на основании 2-го закона Ньютона
и закона сохранения энергии.
;
;
механ.Ньютона
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
;
;
;
;
-полная энергия;
=
- уравнение движения ;
;
;
y=
dy=dz;
;
C
=-2
;
;
;
;
13.Связи.
Уравнения связей.
-уравнение связи ;Связь
–
это совокупность тел огранич.движение
определенного тела. Связи кот.
огранич.движение тел описываются
аналитическими ур-ями кот. наз.ур-ями
связи.
Рассмотрим движ. Одной мат.т.движ.
кот.ограничена связеми. f(
=0;
где
t-время,
(
=0,
(
=0,
(
=0,
(
=0;
f(x)=0,
f(x)=x-l;
уравнение плоскости
является связью
-функции
связи
Для
круга
Каждая определенная связь ограниченная движением мат.точки уменьшает число степеней свободы . стационарные связи – это такие связи ф-ии кот. явно не зависят от времени , в противном случае если ф-ии зависят от времени то она стационарная. В механ.использ. голономные и неголономные связи . Голономн.наз.связи кот. можно определить аналитич.ур-ями и эти ур-ия описываются опред. ур-ями поверхностей в противном случае связь явл.неголономной. силы кот.обусловленны действия связи наз.пассивными или реактивными силими. Активными наз.силы кот вызывают ускорение мат. точек. Если мат.система состоит из N мат.точек 3N-P= r;Определение числа механ.системы с учетом связи огранич.движ.мех.системы. Виды перемещений: Действительные перемещения-это перемещение мат.точки под действием активных и пассивных сил. Возможные-это перемещ.кот.огран.связями действующ.на мат. точку или тело. Виртуальные –это вооброжаемые перемещ. кот. обусловл.действием активных и пассивных сил.
14.Элементы
дифференцирования и варьирования в
теоретической мех.
;
dz=vdt;
z=z(t);
;
Если в данный фиксированный
момент времени переход от одной траектории
к другой :
то эта операция перехода от одной
траектории к другой близко расположенной
относительно основной траектории
наз.варьированием.
-варьирование
преременных. С помощью операции
варьирования определяется виртуальное
варьирование. Если речь идет о вычислении
вариации ф-ии зависящей от вариации
;
;
;
(
=0,
;
(
=
;
(
=
;
;
=
;
=
15.
Метод неопределенных множителей
Лагранжа.
Рассм.
Мех. состоящую из N
мат.т.на это на мех.систему наложено
p
связей(идеальных).
r=3N-p
Связи описываются ур-ями связи
;
все связи идеальны
.
Вычислим вариации ф-ции
:
;
умножим ур-ние на
и
сложим все ур-ия :
;
;
Если бы число степеней свободы мех.
системы 3N
то каждая
было бы независимым и тогда выражение
в квадратных скобках можно было бы
прировнять к нулю, но число степеней
свободы меньше 3N
и равно 3N-p
где р – число ур-ний связи.поэтому мы
такого утверждения сделать не можем
т.к.
неопределенные
множители то мы подберем их таким образом
что бы в каждом слогаемым выражение в
квадратных скобках=0;
из явного вида ф-лы
связь
реакции связи с ур-ями (функциями связи).
;
-
ур-ние Лагранжа 1-го рода.
16. Ур-е Лагранжа 1-го рода.
Рассм. мех.сис-му, состоящ. из N материальн.точек. На эту мех.сис-му наложено р-связей идеальных. Число степеней свободы r = 3N-p.
(8.1)
=1,2…p.
Вычислим
теперь вариацию функций
ур-я (8.1):
Умножим
теперь кажд.ур-е (8.3) на множитель
и сложим эти ур-я,тогда получ.:
Если
бы число степеней свободы мех.сис-мы
было 3N, то каждая 
было бы независ. и тогда выраж-е в
скобках можно было бы приравнять к 0, но
число степеней свободы меньше 3N и равно
3N-p, где р- число ур-й связи, поэтому такого
утверждения мы сделать не можем, однако,
поскольку
неопред.множители, то мы подберем их
т.образом, чтобы в каждом слагаемом
(8.5) выр-е в
равнялись нулю. След-но из нашего
утверждения следует, что
Из явного вида ф-лы (8.6) следует связь реакции связи с ур-ями (ф-циями) связи
ур-е
Д*аламбера.
Если учтем ур-е (8.6), то получ.
Это и есть ур-е Лагранжа 1-го рода.