2.6. Интервальная оценка дисперсии результатов измерений.

Таким образом, при многократных измерениях результат измерения записывают следующим образом

, . ( -оценка дисперсии, -истинное значение дисперсии)

Дисперсия является показателем разброса результатов измерения, но при малом числе наблюдений оценка дисперсии, а также среднего квадратичного отклонения, является случайной величиной, и, следовательно, необходимо ввести понятие степени доверия этой оценке. Для этого определим такой доверительный интервал, в котором находится оценка дисперсии с заданной вероятностью.

Введем некую случайную величину, которая будет определяться следующим образом

.

Введя т.о. величину , можно сказать, что данная величина представляет собой сумму квадратов нормально распределенных величин и при этом подчиняется своему некоторому распределению. Это распределение Пирсона или распределение .

Тогда интегральная функция распределения Пирсона равна:

.

Значения величины , соответствующие различным вероятностям того, что отношение в данном опыте меньше , рассчитаны и представлены в виде таблицы для различных вероятностей и чисел степеней свободы. Пользуясь таблицей, можно найти доверительный интервал для оценки дисперсии результатов измерения при заданной доверительной вероятности. Этот интервал строится так, чтобы вероятность выхода дисперсии за его границы не превышала некой малой величины . Причем вероятности выхода за обе границы интервала обычно берутся равными и составляют некоторую величину, равную .

Границы доверительного интервала находятся из следующих равенств

, .

Тогда границы доверительного интервала для доверительной вероятности определяются следующим образом

.

Для доверительной вероятности :

.

Извлекая корень, получаем

, .

2.7. Проверка нормальности распределения результатов наблюдений.

При количестве измерений задача проверки нормальности распределения решается следующим образом. Строится гистограмма результатов, для чего весь диапазон полученных данных от до разделяют на интервалов шириной и подсчитывают частоты , равные количеству значений, попавших в i-ый интервал. Тогда величина - частость попадания результатов измерения в данный интервал. Эта величина представляет собой статистическую оценку вероятностей попадания результатов наблюдения в данный интервал.

Количество интервалов при построении гистограммы выбирают в зависимости от количества измерений следующим образом:

, ;

, ;

, .

Одним из методов решения задачи проверки нормальности является метод моментов. При его использовании определяется расхождение между гистограммой и теоретическим распределением.

При использовании данного метода построения теоретической кривой распределения Гаусса параметры определяют из экспериментальных данных. Рассчитывается оценка 1-го момента (математическое ожидание) и оценка 2-го момента (дисперсия распределения). Затем эти моменты подставляют в распределение Гаусса как параметры теоретического распределения.

После построения теоретической кривой необходимо ответить, чем вызваны расхождения между гистограммой и теоретической кривой: случайными обстоятельствами, вызванными ограниченным количеством измерений, или тем, что результаты измерений распределяются по другому закону.

Существует несколько критериев согласия, по которым проверяется гипотеза о соответствии экспериментальных данных тому или иному закону распределения.

В соответствии с критерием Пирсона строится величина

.

При этом - теоретическая вероятность попадания результатов измерения в i-ый интервал определяется следующим образом

, где - дифференциальная функция распределения Гаусса.

Такая мера расхождения является случайной величиной и подчиняется (независимо от исходного распределения) функции распределения Пирсона со степенями свободы, которые соотносятся следующим образом

.

Т.о. можно выделить следующие стадии проверки нормальности результатов наблюдения:

1)полученные наблюдения группируют по интервалам и подсчитывают частоты , определяют частости попадания результатов измерения для каждого интервала;

2)вычисляют оценку математического ожидания полученных измерений и оценку дисперсии, которые принимают затем в качестве параметров теоретического распределения;

3)для каждого интервала находят теоретические вероятности попадания в них результатов наблюдения

- формула Симпсона.

4)для каждого интервала определяют и, суммируя по всем интервалам, получают величину ;

5)определяют число степеней свободы ;

6)для заданной вероятности определяют значение по таблице распределения Пирсона.

Если , то с заданной вероятностью расхождение между эмпирической и теоретической плотностью распределения вероятности можно считать случайным. Если , то закон не подтверждается и с вероятностью распределение, полученное в эксперименте, не подчиняется распределению Гаусса.