Вопрос 3.

Функция называется бесконечно малой при х->+∞,

если lim f(x)=0 при x->+∞.

Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.; Будем считать, что х->+∞. Пусть a(x) и b(x) являются б.м. при х->+∞. Тогда в соответствии с определением бесконечно малой, для всякого E>0, а значит и для E/2>0, найдется такое, что при любом х>х0 будут выполняться неравенства |a(x)|<e/2 и |b(x)|<e/2. Их этого получаем|a(x)|+|b(x)|<=e/2+e/2=e. \то значит, что |a(x)| +|b(x)|->0 при х->+∞.

Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть бесконечно малая. ; b(x) и f(x) заданы на [a;∞]. f(x) ограничена, т.е. |f(x)|<M, M>0. b(x)->0 при х->+∞. В силу определения б.м. для всякого Е>0, а значит и для E/M>0, выполняется неравенство |b(x)|<E/M.Значит при тех же значениях x окажется |b(x)f(x)|<E/M*M=E, что означает |b(x)f(x)|->0 при x->+∞.

Вопрос 4

Функция f(x) наз. Ограниченной на X, если существует К>0 : |f(x)| K для всех X.

Функция , называется ограниченной на множестве X, если существуют числа m и M такие, что

Функция f(x): A->R называется

--- ограниченной сверху, если существует такое число M, что f(x)<M при всех x из A;

--- ограниченной снизу, если некоторое число m осуществляет оценку f(x)>m при всех x из A;

--- ограниченной, если она ограничена сверху и снизу.

Т е о р е м а . Если функция имеет конечный предел А

то существует такая окрестность , в которой f (x) ограничена.

Вопрос 5

Функция f (x) называется бесконечно большой функцией в точке х = x0 (или x → x0), если для любого как угодно большого положительного числа K > 0 существует δ = δ(K) > 0, такое, что для всех х, удовлетворяющих условию 0 < | x – х0 | < δ , выполняется неравенство | f (x) | > К.

В этом случае пишут lim f(x)=∞, при х-> x0 и говорят, что функция стремится к бесконечности при х → х0 , или что она имеет бесконечный предел в точке х = х0. (Пример. y = x2 – бесконечно малая функция при x 0 , а y = 1/x2 – бесконечно большая при x 0.)

Теорема 1. Если функция f(x) является бесконечно большой при x→a, то функция 1/f(x) является бесконечно малой при x→a.

Доказательство. Возьмем произвольное число ε>0 и покажем, что при некотором δ>0 (зависящим от ε) при всех x, для которых |x – a|<δ, выполняется неравенство , а это и будет означать, что 1/f(x) – бесконечно малая функция. Действительно, так как f(x) – бесконечно большая функция при x→a, то найдется δ>0 такое, что как только |x – a|<δ, так |f(x)|>1/ ε. Но тогда для тех же x. Примеры. Ясно, что при x→+∞ функция y=x2+1 является бесконечно большой. Но тогда согласно сформулированной выше теореме функция – бесконечно малая при x→+∞, т.е. .

Можно доказать и обратную теорему.

Теорема 2. Если функция f(x) - бесконечно малая при x→a (или x→∞) и не обращается в нуль, то y=1/f(x) является бесконечно большой функцией.

Доказательство: Пусть a(x) - бесконечно малая функция при x->x0, т.е. . Тогда для любого числа E>0 существует такое число δ>0 , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство , т.е. , т.е. , где . А из этого следует, что функция - бесконечно большая.