Вопрос 15
1,
=
=e
2.
вышел за знак предела как постоянный множитель.
3.
t =
=1+t
В числителе непрерывная функция и в знаменателе непр. функц. = =
=
Вопрос 16
Производная - характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференцированием. Обратный процесс — интегрирование.
Пусть x и x+∆x – точки, лежащие внутри области задания функции y=f(x). Найдем значения f(x) и f(x-∆x) в этих точках и составим разность ∆f(x) = f(x-∆x)-f(x). Затем сравним приращение функции с приращением аргумента, то есть найдем предел
Этот предел называют производной или производной первого порядка от функции f по аргументу x и обозначают f'(x), или y'. Производная – предел отношения приращения функции к приращению аргумента при приращении аргумента, стремящемся к нулю: f'(x)=
Не всякая функция может иметь производную.
Уравнение касательной и нормали
Если ф-ция в нек. Точке имеет производную, то в этой точке сущ касательная.
Используется уравнение пучка прямых, получаем ур. Касательной:(x,y)-текущ. Координаты кос. Провед. В (X₀, Y₀):
Y – f(Xo)=F’(X₀)(x - X₀)
Прямая проходящая через точку касания перпендикулярно к касательной -- нормаль.
Из перпендикулярности => k=-1/k=-1/f(x)
Y-f(x)=-1/f(x)*(x-X₀)
Геометрический и физический смысл Производной
Физ смысл:
Приращение ф-ции к приращению аргумента при приращении аргумента→0
Геометрич смысл:
Производная- это угловой коэффициент касательной:
y-f(x₀)=f’(x₀)*(x-x₀)
касательная в точке М ―прямая занимающая предельное положение МТ секущей ММ1,
двигаясь по кривой, неограниченно приближаясь к точке М.
Вопрос 17
Пусть x и x+∆x – точки, лежащие внутри области задания функции y=f(x). Найдем значения f(x) и f(x-∆x) в этих точках и составим разность ∆f(x) = f(x-∆x)-f(x). Затем сравним приращение функции с приращением аргумента, то есть найдем предел
Этот предел называют производной или производной первого порядка от функции f по аргументу x и обозначают f'(x), или y'. Производная – предел отношения приращения функции к приращению аргумента при приращении аргумента, стремящемся к нулю.
Пусть y = f(u), а u= u(x). Получаем функцию y, зависящую от аргумента x: y = f(u(x)). Последняя функция называется функцией от функции или сложной функцией.
Областью определения функции y = f(u(x)) является либо вся область определения функции u=u(x) либо та ее часть, в которой определяются значения u, не выходящие из области определения функции y= f(u).
- Теорема. Если функция u= u(x) имеет в некоторой точке x0 производную u’x= u’(x0) и принимает в этой точке значение
u0 = u(x0), а функция y= f(u) имеет в точке u0 производную
y 'u= f '(u0), то сложная функция y = f(u(x)) в указанной точке x0 тоже имеет производную, которая равна y 'x= f '(u0)·u '(x0), где вместо u должно быть подставлено выражение u= u(x).
Таким образом, производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу u на производную промежуточного аргумента по x.
Доказательство. При фиксированном значении х0 будем иметь u0=u(x0), у0=f(u0). Для нового значения аргумента x0+Δx:
Δu= u(x0 + Δx) – u(x0), Δy=f(u0+Δu) – f(u0).
Т.к. u – дифференцируема в точке x0, то u – непрерывна в этой точке. Поэтому при Δx→0 Δu→0. Аналогично при Δu→0 Δy→0.
По условию =y’u(u0). Из этого соотношения, пользуясь определением предела, получаем (при Δu→0),
y’u+ где α→0 при Δu→0, а, следовательно, и при Δx→0.
Перепишем это равенство в виде: Δy= y 'uΔu+α·Δu.
Полученное равенство справедливо и при Δu=0 при произвольном α, так как оно превращается в тождество 0=0. При Δu=0 будем полагать α=0. Разделим все члены полученного равенства на Δx y’u· + α· .
По условию =u’x, Поэтому, переходя к пределу при Δx→0, получим y 'x= y 'u·u 'x . Теорема доказана.
Итак, чтобы продифференцировать сложную функцию y = f(u(x)), нужно взять производную от "внешней" функции f, рассматривая ее аргумент просто как переменную, и умножить на производную от "внутренней" функции по независимой переменной.
Если функцию y=f(x) можно представить в виде y=f(u), u=u(v), v=v(x), то нахождение производной y 'x осуществляется последовательным применением предыдущей теоремы.
По доказанному правилу имеем y 'x= y 'u·u 'x . Применяя эту же теорему для u 'x получаем , u 'x= u 'v ·v 'x т.е.
y 'x = y 'x· u 'v· v 'x = f 'u (u)·u 'v (v)·v 'x (x).
- y=logax. Для неё обратной функцией является х=ay, то по формуле производной обратной функции имеем: (logax)=1/(ay)’=1/ay*lna=1/x*lna