- •Глава III. Линейные пространства § 1. Определение линейного пространства. Базис и размерность линейного пространства Определение линейного пространства
- •Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов
- •§ 2. Изоморфизм линейных пространств
- •Связь между базисами линейного пространства. Матрица перехода от базиса к базису
- •Изменение координат вектора при переходе к новому базису
- •§ 3. Линейные подпространства
- •Действия над линейными подпространствами
- •§ 4. Евклидовы пространства
- •§ 5. Приложение теории линейных пространств к решению систем линейных уравнений. Фундаментальная система решений
§ 4. Евклидовы пространства
Пусть V=(V,+,) – линейное пространство над полем R. Будем говорить, что в линейном пространстве V задано скалярное умножение, если задано отображение VVR, удовлетворяющее следующим аксиомам:
1 a,bV ((a,b)=(b,a))
2 a,b,cV ((a+c,b)=(a,b)+(c,b))
3 a,bV R ((a,b)= (a,b))
4 aV (a0(a,a)>0)
Следствие из аксиом. Если a=0 или b=0, тогда (a,b)=0.
Примеры
Рассмотрим линейное пространство векторов на плоскости, а скалярное произведение определим так:
Самостоятельно показать, что все аксиомы выполняются.
Если рассмотреть множество функций, непрерывных на сегменте [a,b], ввести операции сложения и умножения на действительное число, получим линейное пространство. Скалярное произведение в этом пространстве можно ввести следующим образом:
(f(x),g(x))= .
Самостоятельно показать, что все аксиомы выполняются.
Определение. Линейное пространство, в котором введено скалярное умножение, называется Евклидовым пространством.
В любом n-мерном линейном пространстве можно ввести скалярное умножение векторов. Действительно, пусть V – n-мерное линейное пространство и e1,e2,…,en – базис этого пространства, тогда любой вектор линейного пространства V можно представить как линейную комбинацию векторов базиса, то есть a,bV( а= , b= ). Введем операцию умножения векторов по правилу
(a,b)= R.
Проверим, будет ли данное умножение скалярным произведением, для этого проверим все аксиомы
1 a,bV ((a,b)= = =(b,a))
2 a,b,cV ((a+c,b)= = (a,b)+(c,b))
3 a,bV R ((a,b)= = (a,b))
4 aV (a0(a,a)= >0)
Все аксиомы выполнены, следовательно, мы получили евклидово пространство. Это говорит о том, что любое конечномерное линейное пространство можно преобразовать в евклидово. Далее будем рассматривать евклидовы пространства и обозначать их Е(n).
Определение. Назовем длиной вектора а величину, равную арифметическому квадратному корню из скалярного квадрата
а= .
Определение. Назовем углом между векторами a0 и b0 угол
=arccos , 0.
Докажем корректность этого определения, то есть нужно показать, что
-1 1 1 1.
Рассмотрим скалярный квадрат вектора a-b, где R, имеем
(a-b, a-b)=(a, a-b)+(-b, a-b)=(a,a) +(a,-b)+(-b, a)+( -b,-b)=
=(a,a)-(a,b)- -( b,a)+ 2(b,b)= 2(b,b)-2(a,b)+(a,a)0 R.
Если рассмотреть последнее соотношение как квадратное неравенство относительно переменной , тогда имеем (b,b)>0, и неравенство верно R, следовательно,
D=(a,b)2-(a,a)(b,b) 0 (a,b)2(a,a)(b,b) 1, что и требовалось доказать.
Из неравенства (a,b)2-(a,a)(b,b) 0 можно получить интересное следствие.
Пусть дано пространство, и скалярное произведение в нем определено следующим образом (a,b)= , тогда получим
( )2- 0(11+22+…+nn)2(12+…+ n2)(12+…+ n2).
Это неравенство Коши – Буняковского.
Определение. Два вектора a0 и b0 называются ортогональными, если угол между ними равен 90 или (a,b)=0.
Определение. Система векторов
a1,a2,…,as (1)
называется ортогональной, если любая пара векторов этой системы ортогональна, то есть
ij ((ai,aj)=0).
Теорема. Ортогональная система векторов линейно независима.
Доказательство
Пусть система векторов (1) – ортогональная. Рассмотрим их линейную комбинацию
1a1+2a2+…+sas=0 (2)
и покажем, что равенство 0 обязательно влечет за собой равенство нулю всех коэффициентов. Умножим обе части равенства (2) скалярно на a1, получим
(1a1+2a2+…+sas ,a1)=(0,a1) (1a1,a1)+(2a2,a1)+…+( sas ,a1)=0
1(a1,a1)+ 2(a2,a1)+…+ s(as ,a1)=0,
но (ai,aj)=0, если ij, то есть (a2,a1)=…=(as ,a1)=0. Следовательно, получаем
1(a1,a1)=0 и (a1,a1)>0, отсюда 1=0. Аналогично, умножая равенство (2) скалярно на a2,…,as, получим 2=…=s=0, что и требовалось доказать, следовательно, система векторов (1) линейно независима.
Из доказанной теоремы следует, что всякая ортогональная система векторов евклидова пространства линейно независима. Возникает вопрос о переходе от линейно независимой системы векторов к ортогональной, содержащей такое же количество векторов. Такой процесс называется процессом ортогонализации. Дадим индуктивное определение процесса ортогонализации:
1. Пусть система векторов a1, a2 (s=2) линейно независима (очевидно, a10,a20). Рассмотрим новую систему векторов b1=a1, b2=a1+a2, где неизвестный числовой параметр, который найдем из условия (b1,b2)=0:
(b1,b2)=(a1,a1+a2)=(a1,a1)+( a1,a2)=0 = .
Таким образом, мы построили ортогональную систему из двух векторов.
2. Пусть имеем линейно независимую систему векторов
a1,a2,…,as (1)
Предположим, что для любого k (2ks) ортогональная система векторов построена
b1,b2,…,bk.
Добавим еще один вектор bk+1=1b1+2b2+…+kbk+ ak+1.
Самостоятельно показать, что bk+10.
Коэффициенты i будем вычислять из условия, что
(bk+1,bi)=0(1b1+2b2+…+kbk+ ak+1,bi)=0
1(b1,bi)+ …+i(bi,bi)+…+ k( bk,bi)+(ak+1,bi)=0i(bi,bi)+(ak+1,bi)=0
i= .
получим ортогональную систему векторов b1,b2,…,bk bk+1.
Следствие. Пусть a1,a2,…,anЕ(n) и являются базисом Е(n). Так как базис это линейно независимая система, то его можно ортогонализировать. Очевидно, полученная ортогональная система векторов также будет базисом пространства Е(n). То есть в любом евклидовом пространстве существует ортогональный базис.
Пусть а0Е(n). Рассмотрим вектор е= . Очевидно, е=1. Операция перехода от вектора а к вектору е называется нормированием, а полученный вектор – нормированным или нормальным. Любой ненулевой вектор можно аналогичным образом пронормировать. Если пронормировать векторы ортогонального базиса, то получим ортонормированный базис евклидова пространства e1,e2,…,en ,где еi=1i=1,…,n, (ei,ej)= .
Скалярное произведение любых векторов евклидова пространства тогда и только тогда равно сумме произведений одноименных координат, когда эти векторы заданы в ортонормированном базисе.