6.2. Определение динамической системы в отс-мт

Необходимость определения динамической системы появляется тогда, когда требуется рассмотреть последовательность изменений системы во времени. Для этого нужно установить взаимосвязь между значениями объектов системы, относящимися к различным моментам времени.

Временная система S  X  Y называется динамической системой или допускает динамическое представление тогда и только тогда, когда найдутся два таких семейства отображений

и

что

(а) семейство согласуется с S, т.е. является семейством реакций этой системы;

(в) все функции из семейства удовлетворяют следующим условиям:

() r_t(c_t, x_t) | T_t' = r_t'(_tt'(c_t, x_tt'), x_t'), где x_t = x_tt'x_t';

() _tt'(c_t, x_tt') = _t"t'(_tt"(c_t, x_tt"), x_t"t'), где x_tt" = x_tt"x_t"t'.

Функции _tt' называются функциями перехода состояний на T_tt', а – семейством функций перехода состояний.

Функция _tt' определена лишь для t < t', поэтому далее считается, что

() _tt(c_t, x_tt) = c_t для всех t  T.

Условие () соответствует свойству согласованности семейства функций переходов состояний с заданным семейством реакций, а условие () – свойству композиции переходов состояний, являющегося полугруппой.

Из полноты описания динамической системы парой ( , ) следует, что если для семейства реакций временной системы существует согласующееся с ним семейство переходов состояний, то оно будет являться семейством реакций динамической системы.

При анализе динамических систем часто рассматривают их движение в пространстве состояний. Однако введенное выше определение состояния не учитывает связи между состояниями одной и той же системы в разные моменты времени. Поэтому необходимо иметь такое множество С, что для каждого t  T выполнялось бы равенство С_t = С.

Формально пространство состояний задается следующим образом: пусть S – временная система (S  X  Y), а С – произвольное множество. Множество С является пространством состояний системы S тогда и только тогда, когда найдутся два таких семейства функций и что

(а) для всех

(в) для всех t, t', t"  T

() r_t(c, x_t) | T_t' = r_t'(_tt'(c, x_tt'), x_t');

() _tt'(c, x_tt') = _t"t'(_tt"(c, x_tt"), x_t"t');

() _tt(c, x_tt) = c;

где – системы с согласованным семейством реакций ;

x_t = x_tt'x_t' и x_tt" = x_tt"x_t"x _t'.

В этом случае S называется динамической системой в пространстве состояний С.

Динамическая система S в пространстве состояний С называется полной тогда и только тогда, когда для всех t  T выполняется равенство

6.3. Некоторые классы временных систем Безинерционные и инерционные системы

Система является безинерционной, если в любой момент времени t значения ее выходной величины зависят только от текущего значения входного воздействия и состояния, с которого началась ее эволюция. Поэтому, если функция x(t) на какой-то период времени становится постоянной, то постоянной становится и y(t).

Формально безинерционная система задается следующим образом: временная система S  X  Y является безинерционной тогда и только тогда, когда для любого t  T найдется такое отображение K_t : C₀  X(t)  Y(t), что

Все остальные системы являются инерционными, т.к. в них выходная величина зависит не только от текущего значения входного воздействия, но и от “предыстории” этого воздействия.