Системы без памяти и с памятью

Временная система S  X  Y называется системой без памяти тогда и только тогда, когда она является безинерционной K_t : C₀  X(t)  Y(t) и существует отображение

такое, что

Все остальные системы называются системами с памятью.

Управляемые системы

Для оценки качества поведения системы S вводится оценочная функция или критерий качества G вида:

G : X  Y  V.

Далее предполагается, что система S  X  Y может быть определена на двух объектах М и U в виде функционального отображения S : M  U  Y. Для такого представления S оценочная функция имеет вид G : M  U  Y  V. Совокупность системы S и оценочной функции G (композицию отображений) будем обозначать в виде g : M  U  V, причем для любых (m, u)  M  U

g = G(m, u, S(m, u)).

Множество V’  V называется достижимым (воспроизводимым) тогда и только тогда, когда

Точка v  V называется достижимой тогда и только тогда, когда существует достижимое множество V’, такое, что v  V’.

Теперь можно определить три варианта управляемости.

1. Множество V’  V называется вполне управляемым относительно g тогда и только тогда, когда

2. Если достаточным является обеспечение качества системы принадлежащего некоторому подмножеству V’, а не конкретному значению v, при любых u  U, то условие полной управляемости принимает вид

3. Еще один вариант управляемости необходимо определить для многокритериальной оценочной функции. В этом случае оценочный объект V представляется в виде:

V^k = {V_j : j  I_k},

где k – количество оценочных компонент.

В этом случае система S называется многокритериальной.

При рассмотрении управляемости динамических систем считается, что S – динамическая система, U и V – есть состояния системы S, а оценочное отображение g определено в терминах семейства функций перехода состояний.

Определяется три варианта управляемости динамических систем по состояниям.

1. Динамическая система называется вполне управляемой для своего пространства состояний тогда и только тогда, когда

где x^t = {x_t’ | t’ < t}, а переход осуществляется за время t из состояния с в состояние

2. Динамическая система называется управляемой по состояниям из состояния с₀ тогда и только тогда, когда

где с₀ – состояние системы в момент времени t₀, а переход осуществляется за время t из состояния с₀ в состояние с.

3. Динамическая система называется управляемой по состояниям в состояние с₀ тогда и только тогда, когда

где с₀ – состояние системы в момент времени t, а переход осуществляется за время t из состояния с в состояние с₀.

Открытые системы

Открытой является система, взаимодействующая с внешней средой путем обмена веществом, энергией и информацией.

Так как система является отношением, а не функцией, то в общем случае невозможно определить, какая будет выходная величина в ответ на наблюдаемое или предполагаемое входное воздействие. Поэтому открытой можно считать систему, которую нельзя (удовлетворительным образом) представить в виде функции, т.е. даже зная все условия работы системы, нельзя сказать, каким точно будет ее выход.

Для формализации открытости системы целесообразно представить входной объект в виде двух составляющих X = M  U и рассматривать систему

S  M  U  Y.

Для типичного случая неопределенной ситуации характерным является точное знание компонента m входного воздействия и соответствующего ему подмножества U_m  U, которому будет принадлежать значение компонента u. В этом случае М представляет измеримое, непосредственно наблюдаемое входное воздействие, а U – входные воздействия, о которых имеется только косвенная информация. В этих условиях для любого заданного m  M самое большее, что можно сказать о выходной величине, - это то, что она должна принадлежать множеству

Y_m = S(m, U_m).

Такая система и является открытой в общем смысле.

Для восстановления предсказуемости системы могут использоваться два подхода.

1. Почти предсказуемые выходные величины.

Для каждого заданного x  X определяется такое подмножество Y_x  Y, что

где Х = M  U.

Обозначим через Y^* множество подмножеств Y. В некоторых случаях оказывается возможным определить функциональную систему

S' : Х  Y^*,

для которой при любых Ỹ  Y^*

Поэтому о предсказуемости можно говорить лишь с точностью до подмножеств множества Y. Если для каждого x  X множество Y_x достаточно мало, то описание S с помощью S’ может быть удовлетворительным. Однако это зависит от характера системы S и критерия, используемого для оценки размеров множества Y_x. Например, вычисление различных функций с определенной точностью (абсолютной или относительной).

2. Почти предсказуемые системы.

В случае, когда неизвестно не только значение выхода, но и входа, добиться определенной предсказуемости можно в результате перехода к множествам подмножеств, как для выходного, так и для входного объектов.

Обозначим через X^* множество подмножеств входных воздействий X. Тогда можно определить функциональную систему

S_* : Х^*  Y^*,

для которой при любых

Более подробное описание системы S, возможно, получится в результате введения дополнительной структуры на X^* и Y^*.

Подобные соображения ведут непосредственно к нечетким и вероятностным описаниям системы.