- •III осенний семестр Лекция №1 Числовые ряды
- •Лекция №2 Сходимость положительных рядов
- •Если - сходится, то - сходится;
- •Если - расходится, то - расходится.
- •Лекция №3 Сходимость положительных рядов (продолжение)
- •Лекция №4 Сходимость положительных рядов (продолжение)
- •Ряды с членами произвольного знака
- •Лекция №5 Ряды вида
- •Лекция №6 Перестановки числовых рядов
- •Лекция №6 Перестановки числовых рядов (продолжение)
- •Лекция №8 Умножение рядов (продолжение)
- •Двойные ряды
- •Лекция №9 Двойные ряды (продолжение)
- •Бесконечные произведения
- •Лекция №10 Бесконечные произведения (продолжение)
- •Лекция №11 Функции, представляющиеся в виде бесконечных произведений
- •Функциональные последовательности и ряды
- •Лекция №12 Функциональные последовательности и ряды (продолжение)
- •Лекция №13 Функциональные последовательности и ряды (продолжение)
- •Лекция №14 Свойства предельной функции и сумма функционального ряда в случае равномерной сходимости
- •Лекция №15 Пространства и сходимость в них
- •Степенные ряды
- •Лекция №16 Степенные ряды (продолжение)
- •Лекция №17 Разложение функций в степенные ряды
- •Лекция №18 Ряды Фурье
- •Лекция №19 Ряды Фурье (продолжение)
- •Лекция №20-21 Ряды Фурье (продолжение)
- •Лекция №22 Ряды Фурье (продолжение)
- •Лекция №23 Ряды Фурье (продолжение)
- •Лекция №24 Ряды Фурье (продолжение)
- •Лекция №25 Ряды Фурье (продолжение).
- •Лекция №26 Поточечная сходимость тригонометрического ряда Фурье
- •Лекция №27 Поточечная сходимость тригонометрического ряда Фурье (продолжение)
- •Лекция №28 Собственные интегралы, зависящие от параметра
- •Лекция №30 Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра
- •Свойства гамма-функции
- •Лекция№31 Преобразование Фурье
- •Критерий сходимости положительного ряда.
Лекция №30 Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра
Теорема 1. Если сходится равномерно на отрезке то
Доказательство. сходится равномерно на (из определения равномерной сходимости по Гейне) (из теоремы о равномерном пределе последовательности непрерывных функций)
Доказано.
Теорема 2. Если сходится равномерно на отрезке то и
Доказательство. сходится равномерно на отрезке
(по теореме об интегрируемости собственных интегралов) =
Доказано.
Теорема 3. Если
сходится;
сходится равномерно на то
Доказательство. сходится равномерно на
Доказано.
Свойства гамма-функции
Лемма 1.
Доказательство. По формуле Эйлера
Доказано.
Лемма 2. Для
Доказательство. Сделаем замену тогда
Доказано.
Теорема 4. (*)
Доказательство.
1. Т.к.
2.
Из этого представления равенство (*) будет вытекать тогда и только тогда, когда
3. Введём вспомогательные неравенства.
(неравенство Бернулли).
Докажем это неравенство методом математической индукции.
При равенство очевидно.
верно.
4. Докажем, что
Докажем, что неравенство из (3) при
Оценим снизу:
Оценка сверху:
Итак,
и по теореме «о двух милиционерах»
Доказано.
Лемма 3. (подробнее это изучается в курсе теории функций комплексного переменного ТФКП).
Лемма 4. нецелого справедливо следующая формула дополнения В частности, при
Доказательство. Имеем по формуле Эйлера
Доказано.
Задача. Вычислить
Лекция№31 Преобразование Фурье
Пусть дана функция несобсттвенный интеграл от функции по всей прямой абсолютно сходящийся в смысле Коши. Главное значение
Рассмотрим несобственный интеграл, зависящий от параметра.
называемый преобразованием Фурье функции (Это и есть аналог коэффициентов Фурье в периодическом случае.)
Лемма 1. Если и интеграл абсолютно сходящийся по Коши, то
Доказательство. По соответствующей теореме достаточно проверить равномерную сходимость преобразования Фурье на множестве действительных чисел, т.к.
Воспользуемся признаком равномерной сходимости Вейерштрасса:
сходится. Значит, преобразование Фурье сходится равномерно.
Доказано.
Лемма 2. Если то
Доказательство. Также воспользуемся соответствующей теоремой; проверим следующие условия:
непрерывность:
равномерная сходимость (признак Вейерштрасса):
Следствие. Если сходится, то
Иногда испоьзуют и действительную форму преобразования Фурье, тогда появляется косинус-преобразование Фурье:
и синус-преобразование Фурье:
Тогда обычное преобразование Фурье есть обычная их комбинация:
Лемма 3. если
Доказательство.
Доказано.
Следствие. если
Например, в уравнение теплопроводности удобно перейти к по переменной t: потом функцию необходимо восстановить.
Сама функция по её преобразованию Фурье восстанавливается с помощью обратного преобразования Фурье: аналогичное тригонометрическому ряду Фурье.
Частичные интегралы – аналог сумм: И вопрос состоит в следующем: сходится ли при
Различабт сходимости среднеквадратичную: и поточечную: в точке и равномерную:
Пример. Найти преобразование Фурье функции
Замечание. Часто преобразование Фурье определяют формулой
тогда обратное преобразование Фурье имеет вид:
Справедливы следующие утверждения.
Теорема 1. Если абсолютно интегрируема на то
Теорема 2. Если абсолютно интегрируема на и кусочно-непрерыно-дифференцируема на то
Теорема 3. Если абсолютно интегрируема на и кусочно-непрерывно-дифференцируема на то имеет место равномерная сходимость
Вопросы по курсу математического анализа за III осенний семестр