- •III осенний семестр Лекция №1 Числовые ряды
- •Лекция №2 Сходимость положительных рядов
- •Если - сходится, то - сходится;
- •Если - расходится, то - расходится.
- •Лекция №3 Сходимость положительных рядов (продолжение)
- •Лекция №4 Сходимость положительных рядов (продолжение)
- •Ряды с членами произвольного знака
- •Лекция №5 Ряды вида
- •Лекция №6 Перестановки числовых рядов
- •Лекция №6 Перестановки числовых рядов (продолжение)
- •Лекция №8 Умножение рядов (продолжение)
- •Двойные ряды
- •Лекция №9 Двойные ряды (продолжение)
- •Бесконечные произведения
- •Лекция №10 Бесконечные произведения (продолжение)
- •Лекция №11 Функции, представляющиеся в виде бесконечных произведений
- •Функциональные последовательности и ряды
- •Лекция №12 Функциональные последовательности и ряды (продолжение)
- •Лекция №13 Функциональные последовательности и ряды (продолжение)
- •Лекция №14 Свойства предельной функции и сумма функционального ряда в случае равномерной сходимости
- •Лекция №15 Пространства и сходимость в них
- •Степенные ряды
- •Лекция №16 Степенные ряды (продолжение)
- •Лекция №17 Разложение функций в степенные ряды
- •Лекция №18 Ряды Фурье
- •Лекция №19 Ряды Фурье (продолжение)
- •Лекция №20-21 Ряды Фурье (продолжение)
- •Лекция №22 Ряды Фурье (продолжение)
- •Лекция №23 Ряды Фурье (продолжение)
- •Лекция №24 Ряды Фурье (продолжение)
- •Лекция №25 Ряды Фурье (продолжение).
- •Лекция №26 Поточечная сходимость тригонометрического ряда Фурье
- •Лекция №27 Поточечная сходимость тригонометрического ряда Фурье (продолжение)
- •Лекция №28 Собственные интегралы, зависящие от параметра
- •Лекция №30 Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра
- •Свойства гамма-функции
- •Лекция№31 Преобразование Фурье
- •Критерий сходимости положительного ряда.
Лекция №6 Перестановки числовых рядов (продолжение)
Группировка числового ряда
Для числового ряда (1) группировка ряда – это ряд вида
Теорема. Любая группировка сходящегося ряда – сходится.
Доказательство. Последовательность частичных сумм группировки является подпоследовательностью частичных сумм исходного ряда и для сходящегося ряда имеет конечный предел. Любая группировка сходящегося ряда сходится к сумме ряда. Обратное утверждение не верно.
Доказано.
Пример. Ряд расходящийся, но сходится. Или сходится.
Умножение рядов
Пусть даны два ряда (1), (2).
Образуем бесконечную таблицу
Элементы этой таблицы можно вытянуть в линию (занумеровать) бесконечно многими способами. Все они будут по отношению друг к другу перестановками. Этой бесконечной таблице соответствует бесконечно много переставленных числовых рядов. Если некоторые (-ая) перестановка (-и) сходится абсолютно, то все перестановки будут также сходится абсолютно к одной и той же сумме. В этом случае любую перестановку естественно назвать произведением рядов (1) и (2),а её сумму – суммой произведения исходных рядов.
Теорема. Если ряд (1) сходится абсолютно к А, а ряд (2) сходится абсолютно к В, то определено произведение рядов (1) и (2), равное АВ.
Доказательство. Пусть сумма (3) некоторая перестановка бесконечной таблицы, где и - перестановки N – множества натуральных чисел.
Покажем, что (3) сходится абсолютно: Можно оценить сверху следующим образом:
сходится.
Остаётся выяснить, чему равна сумма произведений. Для этого достаточно взять произвольную перестановку и в этой перестановке – любую подпоследовательность частичных сумм. Возьмём следующую:
Доказано.
Формальным произведением, или произведение Коши рядов (1) и (2) называется сумма ряда (3) Отметим, что формальное произведение является группировкой некоторой перестановки бесконечной таблицы. Поэтому из предыдущей теоремы и теоремы о группировке сходящегося ряда вытекают следующие утверждения:
теорема Коши: если ряд (1) сходится абсолютно к А и ряд (2) сходится абсолютно к В, то ряд (3) сходится к ;
теорема Мертенса: если ряд (1) сходится абсолютно к А и ряд (2) сходится к В, то ряд (3) сходится к ;
теорема Абеля: если ряд (1) сходится к А и ряд (2) сходится к В, то ряд (3) сходится к .
Лекция №8 Умножение рядов (продолжение)
Пример 1. Пусть дан ряд Исследовать сходимость формального произведения этого ряда самого на себя.
сходится условно.
Ряд из сn является расходящимся.
Пример 2. Дан ряд Исследовать сходимость формального произведения этого ряда самого на себя.
Получаем последовательность Докажем, что она имеет предел. Для чего установим, что эта последовательность не возрастает и ограничена снизу:
Итак, константа Эйлера,
Если последовательность имеет предел, то она представляется в виде некоторого числа с и нового слагаемого.
невозрастающая,
По признаку Лейбница формальное произведение сходится и по теореме Абеля:
Найдём сумму данного ряда: