54. Системы линейных неравенств и геометрическое представление их решений.

Система линейных неравенств от двух переменных a₁₁x₁+a₁₂x₂≤b₁

a₂₁x₁+a₂₂x₂≤b₂

a_n1x₁+a_n2x₂≤b_n

На плоскости х₁,х₂ уравнение определяет прямую

Фигура называется выпуклой, если из условия A,B M следует, что все точки отрезка a,b m.

Опр: пересечение конечного числа выпуклых множеств является выпуклым множеством.

Каждое неравенство определяет некую полуплоскость. Решением системы линейных неравенств является пересечение полуплоскостей, поэтому системой линейных неравенств определяется выпуклое множество, а точнее выпуклый многоугольник.

В 3-мерном пространстве системы линейных неравенств определяют выпуклый многогранник, т.к. каждое неравенство будет задавать полупространство, деленное плоскостью.

55. Комплексные числа и арифметические операции над ними. Расширением множества Q является множество действительных чисел R, которое включает рациональные и нерациональные числа. R алгебраические (корни, число n и т.д.)

трансцендентные (не явл. корнями уравнения)

Трансцендентные: xⁿ=a, a>0

N Z Q R множество иррациональных чисел несчетно.

x²=-1 пустое множество в R

поэтому добавим множество комплексных чисел G дял решения таких чисел

i= – мнимая единица

число вида a*i,где a принадл. R – чисто мнимое число

число вида a+b*i, где a,b принадл. R – комплексное число, если b=0, то (a+b*i)принадл. R.

Обозначим z=a+b*i

a=Re z – действительная часть комплексного числа z

b=Im z – мнимая часть комплексного числа z

Операции над комплексными числами:

- сложение:

z₁=a₁+bi

z₂=a₂+bi

z₁+z₂=(a₁+a₂)-i(b₁+b₂)

-вычитание

z₁-z₂=(a₁-a₂)+i(b₁-b₂)

-умножение

z₁*z₂= (a₁a₂-b₁b₂)+i(a₁b₂+a₂b₁)

-деление

Два комплексных числа равные, если равны их действительные и мнимые части.

Между комплексными числами знак неравенства поставить нельзя, т.к. это множество не является упорядоченным.

= a-bi называется комплексным сопряженным числом числа z.

56.Модуль и аргумент. Геометрическая интерпретация. Формула Муавра.

Комплексное число z модно интерпретировать как упорядоченную пару чисел (a,b), а каждый упорядоченной паре чисел можно поставить в соответствие точки на плоскости.

Назовем модулем комплексного числа длину радиус-вектора с координатами (a,b).

|z|=|a+bi|=

Угол (между Re z и z ) – аргументы комплексного числа

cos =

• = + (2n+ )+…

sin =

y=Arg z

arg z – главный аргумент [0;2 ], [- ]

Arg z= arg z+2k

z= + )

Обозначим r= z= + ) – геометрическая формула комплексного числа

zⁿ= +i )

Формулы умножения, деления и возведения в степени комплексных чисел называется формулой Муавра