Метод замены переменной (способ подстановки)
Пример 1. Найти неопределенный интеграл . В данном примере множитель , стоящий под знаком интеграла, есть производная от выражения , стоящего в числителе, следовательно, для нахождения интеграла воспользуемся заменой: ,
. Тогда:
. Ответ: .
ВОПРОС№35: Интегрирование рациональных функций.
Интегрирование дробно-рациональных функций.
Рассмотрим правильную дробь
Представим знаменатель в следующем виде: .
Здесь – действительные корни многочлена, а - их кратности. Дискриминанты квадратных многочленовn являются отрицательными числами, то есть
Сумма кратностей
Теорема о разложении правильной дроби на сумму простейших дробей
(без доказательства). Верно разложение
Здесь – некоторые вполне определенные числа.
С учетом этой теоремы задача интегрирования правильной рациональной дроби сводится к интегрированию выражений следующего вида:
I.
II.
Пусть квадратный многочлен px q имеет отрицательный дискриминант, то есть .
III.
Далее,
IV.
Первый интеграл, стоящий в правой части этого выражения, имеет вид интеграла из пункта II.
Обозначим и рассмотрим второй интеграл L(k)= .
Второй интеграл в этом выражении интегрируем по частям
Следовательно, будем иметь
Из этого рекуррентного соотношения можем вычислить любой интеграл L(k).
Пусть теперь в ( ) n m. Тогда, разделив числитель на знаменатель, представим ( ) в виде +правильная дробь.
ВОПРОС№36:Определенный интеграл и его геометрический смысл. Свойства определенного интеграла.
Пусть функция f(x) определена на отрезке [a,b]. Разобьем этот отрезок
Точками a=x0<x1<...<xi<xi+1<...<xn=b.
Назовем диаметром этого разбиения число d= max( – ), i=1, …. n-1.
Возьмем [ ] и составим сумму )( которая называется интегральной суммой.
Определение. Число I называется пределом интегральных сумм ( )( ) при диаметре разбиения d , если для такое, что для всех разбиений с диаметром d < и для любого набора точек выполняется неравенство
Теорема. Если предел интегральных сумм существует, то он единственен.
Доказательство. Предположим, что существуют два предела .
Возьмем любое число . Тогда для всех разбиений с достаточно малым диаметром неравенство ( ) выполняется и для I1, и для I2. Следовательно, Устремим , получим противоречие .
Определение. Предел интегральных сумм ( )( ) называется определенным интегралом и обозначается .
Функция f(x) в этом случае называется интегрируемой на отрезке [a, b].
Г еометрический смысл определенного интеграла
Рассмотрим задачу об определение площади криволинейной трапеции aABb (см. рис.).
Заменим криволинейную трапецию системой прямоугольников. Суммарная площадь этих прямоугольников определяется формулой ( )( ). Предел интегральных сумм ( )( ) при диаметре d и назовем площадью криволинейной трапеции. Итак, геометрический смысл определенного интеграла – это площадь криволинейной трапеции aABb.
Линейные свойства определенного интеграла
Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [a,b]. Тогда для ∀ c=const интегрируемой является функция cf(x) и выполнено равенство
Доказательство. Пусть I= .
Тогда для >0 >0 такое, что для всех разбиений с диаметром d < и для любого набора точек [ ] выполняется неравенство ( ).
Следовательно, при
2. Пусть функции (x), (x) интегрируемы на отрезке [a,b]. Тогда на этом отрезке интегрируемы их сумма и разность и выполняется равенство )
Доказательство. Обозначим такое, что для всех разбиений с диаметром d < и для любого набора точек [ ] выполняются неравенства
Следовательно,
Это означает, что