56. Показатели вариации (размах, лимиты, среднее линейное отклонение, дисперсия, стандартное отклонение)

Вариация – это изменчивость рассеивания признака.

Размах вариации (РВ) – разность наибольшего и наименьшего значений признака в выборке. РВ=x_max-x_min Лимиты - x_max и x_min

Когда выбран показатель центра распределения, для оценки всей выборки удобно выбирать показатель вариации отклонений значений признака от центра.

Основным показателем центра распределения является среднее арифметическое (выборочное среднее)

Если дан ряд наблюдений признака x₁, x₂, …, x_n, то достаточно найти и оценить отклонения (x₁- ), (x₂- ), …, (x_n- ). Для оценки отклонений в качестве мер вариации рассматриваются ср. линейное отклонение, дисперсия и стандартное отклонение.

Среднее линейное отклонение.

Среднее линейное отклонение МD – среднее арифметическое абсолютных величин отклонений.

МD =

Выборочная дисперсия, чтобы не оценивать отклонение по абсолютной величине использут выборочную дисперсию для вычисления k-й в формуле для среднего отклонения абсолютные величины заменяют квадратами, а в знаменателе пишут (n-1)

В случае, когда признак является дискретным и для него составлен дискретный вариационный ряд вида

вариата	ν1	ν2	…	νk
частота	m1	m2	…	mk

Тогда дисперсия вычисляется по формуле

Если для признака составлены интервальный вариационный ряд, то вместо вариант берутся середины интервалов.

Стандартное отклонение.

Выборочная дисперсия вычисляется как среднее квадратов отклонения. Возведение в квадрат несколько меняет оценку вариации. Чтобы избавится от такого измерения вместо дисперсии используют стандартное отклонение, которое вычисляют

57. Ассиметрия и эксцесс

При оценке свойств измеряемого признака большое значение имеет симметрия частот отклонений относительно среднего арифметического. Она сказывается на форме кривой распределения. Для количественной оценки несимметричности распределения введена ассиметрия, которая вычисляется по формуле:

, где s – стандартное отклонение.

Если Аs=0,то распределение частот симметричное.

Если Аs >0, то правосторонняя симметрия.

Если Аs <0, то левосторонняя симметрия.

Эксцесс (Обозначается Ex) – это показатель, который описывает формулу кривой распределения.

Чаще всего этот показатель используют для описания унимодальных распределений частот. Ех=0 норм

Если Eх>0, распределение островершинное.

Если Eх<0, распределение плосковершинное.

Плосковершинный островершинный полигон

58. Оценка показателей альтернативного признака

Альтернативные признаки – это полинеальные признаки, имеющие два значения.

Чтобы оценить центр значения альтернативных признаков, одно из значений приравнивают к нулю, второе – к единице.

В результате измерений получаем первичные эмпирические данные, которые записаны в виде дискретного вариационного ряда.

варианты	0	1
частоты	m1	m2

m₁ + m₂ = n – объём выборки=>

Среднее арифмет.

Относительная частота

Выборочная дисперсия

Среднее квадратичное отклонение