- •1. Событие. Классификация событий
- •2. Вероятность события. Свойства вероятности. Классическая вероятность
- •3. Статистическое определение вероятности
- •4. Геометрическая вероятность
- •5. Задача о встрече
- •6. Действия над событиями
- •7. Теорема сложения вероятностей
- •8. Теорема умножения вероятностей
- •9. Условная вероятность события
- •10. Следствия из теоремы умножения вероятностей
- •11. Формула полной вероятности
- •12. Теорема гипотез (формула Байеса)
- •13. Дискретные и непрерывные случайные величины
- •14. Закон распределения случайной величины
- •15. Функция распределения случайной величины
- •16. Общие свойства функции распределения св
- •17. Плотность распределения случайной величины
- •18. Основные свойства плотности распределения
- •19. Математическое ожидание и его свойства
- •20. Математическое ожидание непрерывной случайной величины
- •21. Мода и медиана
- •22. Дисперсия случайной величины
- •23. Свойства дисперсии
- •24. Система случайных величин. Свойства распределения двумерного случайного вектора
- •25. Функция распределения дискретного двумерного случайного вектора
- •26. Функция и плотность распределения непрерывного двумерного случайного вектора
- •27. Условные законы распределения. Зависимые и независимые случайные величины
- •28. Функция одной дискретной св
- •29. Функция одной непрерывной св
- •30. Корреляционный момент случайных величин X и y и его свойства
- •31. Коэффициент корреляции и его свойства
- •32. Формула Бернулли
- •33. Наивероятнейшее число наступления события
- •34. Асимптотические формулы вычисления вероятностей
- •35. Биномиальный закон распределения
- •36. Закон распределения Пуассона
- •37. Равномерный закон распределения
- •38. Показательный закон распределения
- •39. Нормальный закон распределения
- •40. Математическое ожидание нормального закона распределения
- •41. Дисперсия нормального закона распределения
- •42. Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины
- •43. Правило 3σ
- •44. Неравенство Маркова
- •45. Неравенство Чебышева
- •46. Теорема Чебышева
- •47. Теорема Бернулли
- •48. Теорема Ляпунова
- •49. Интегральная теорема Лапласа
- •50. Виды статистических наблюдений
- •51. Виды измерений
- •52. Методы ранжирования
- •53. Группировка и табулирование количественных данных (дискретные и непрерывные вариационные ряды, кумулятивные ряды)
- •54. Графическое изображение вариационных рядов
- •55. Показатели центра распределения (мода, медиана, среднее арифметическое, среднее гармоническое, среднее геометрическое)
- •56. Показатели вариации (размах, лимиты, среднее линейное отклонение, дисперсия, стандартное отклонение)
- •57. Ассиметрия и эксцесс
- •Плосковершинный островершинный полигон
- •58. Оценка показателей альтернативного признака
26. Функция и плотность распределения непрерывного двумерного случайного вектора
Если функция распределения случайного вектора дважды непрерывно дифференцируема, то такое распределение этого вектора назовем непрерывным. В этом случае вектор можно задать с помощью плотности распределения, которая определяется как предел некоторой средней плотности
Можно показать что, плотность распределения – это вторая смешанная частная производная от функции распределения :
Если задана плотность распределения вероятностей f(x, y) случайного вектора , то функцию распределения этого вектора находим интегрированием:
Плотность распределения обладает свойствами:
1.
2.
3. Вероятность того, что случайная точка попадает в область D при известной области распределения, находится по формуле
27. Условные законы распределения. Зависимые и независимые случайные величины
Пусть у нас имеется случайный вектор , распределение которого задается таблицей:
-
1
Рассмотрим функцию распределения СВ X при условии, что Y приняло значение , . Эту обозначают . Найдем вероятность того, что X приняло значение , когда Y приняло значение : .
Аналогично
.
В случае непрерывного распределения вектора появляются условные плотности распределения X, когда , и Y, когда , то есть и . Можно показать, что
где – плотность распределения СВ X, а – плотность распределения Y.
СВ X называется независимой от СВ Y, если распределение X не зависит от того, какое значение приняло Y. Аналогично определяется независимость Y от X. Свойство независимости случайных величин взаимно. Если величины X и Y независимы, то в этом случае (дискретное распределение) и (непрерывное распределение).
28. Функция одной дискретной св
Пусть дана функция одной переменной с областью определения и некоторая СВ X, все значения которой принадлежат множеству . Тогда, если случайная величина X приняла значение x, будем считать, что новая случайная величина Y приняла значение . Эта новая случайная величина Y наз. функцией случайной величины X, и в этом случае пишут: .
Вопрос состоит в том, каков закон распределения Y, если мы знаем закон распределения X.
Рассмотрим сначала дискретную случайную величину Х с рядом распределения
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Событие происходит с вероятностью , с этой же вероятностью Y примет значение . Мы имеем таблицу распределения
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если существует несколько значений , для которых принимает одно и то же значение, то все такие случаи объединяются в один, которому соответствует по теореме сложения вероятность, равная сумме вероятностей объединяемых случаев.