- •Предел суммы, произведения, частного двух функций (с доказательством для суммы).
- •2.Определение производной, ее геометрический и физический смысл.
- •Физический смысл производной.
- •3.Определение касательной к графику функции
- •Уравнение касательной
- •Доказательство
- •5.Производная суммы, произведения, частного двух функций
- •Понятие сложной функции
- •8.Определение монотонной функции. Достаточное условие монотонности функции на промежутке.
- •9.Определение экстремума функции. Необходимое условие экстремума функции (теорема Ферма).
- •10.Достаточное условие экстремума функции.
- •11.Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке (теорема Вейерштрасса - без доказательства).
- •12.Асимптоты (вертикальные, наклонные) графика функции, вывод правила их нахождения. Виды асимптот графиков Вертикальная
- •Горизонтальная
- •]Наклонная
- •Нахождение асимптот Порядок нахождения асимптот
- •13.Определение комплексных чисел. Алгебраическая форма записи комплексного числа. Модуль, сопряженные комплексные числа.
- •Определения
- •Матричная форма
- •Алгебраическая форма записи комплексного числа
- •14.Операции над комплексными числами в алгебраической форме и их свойства.
- •Действия с комплексными числами, заданных в алгебраической форме
- •15.Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Геометрический смысл операций сложения и вычитания.
- •16.Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме. Геометрический смысл умножения комплексных чисел.
Доказательство
Возьмем произвольное фиксированное число x (a,b).
По условию теоремы
Следовательно, в малой окрестности числа x0 можно определить функцию α = α(Δx), стремящуюся к нулю при такую, что
Но тогда и, следовательно, функция f непрерывна при x = x0. Так как число x0 – произвольное, то функция fнепрерывна на всем интервале (a, b).
Теорема доказана.
Из доказанной теоремы непосредственно вытекает, что в точках разрыва функция не может быть дифференцируемой.
Однако из непрерывности функции на интервале (a, b) не следует дифферецируемость функции в каждой точке интервала (a, b). Например, функция непрерывна на всей числовой прямой, но эта функция недифференцируема при x = 0. В самом деле, предел (1) не зависит от знака приращения аргумента Δx. Для функции же имеем, если x = 0придать приращение Δx > 0, то Δy = Δx, а если Δx < 0, то Δy = − Δx. Таким образом,
Следовательно, функция недифференцируема при x = 0.
5.Производная суммы, произведения, частного двух функций
Производная суммы (разности) функций
Производная алгебраической суммы функций выражается следующей теоремой.
Производная суммы (разности) двух дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных этих функций:
Производная конечной алгебраической суммы дифференцируемых функций равна такой же алгебраической сумме производных слагаемых. Например,
Производная произведения функций.
Пусть u(x) и u(x) - дифференцируемые функции. Тогда произведение функций u(x)v(x) также дифференцируемо и
Производная произведения двух функций не равана произведению производных этих функций.
Производная частного функций.
Пусть u(x) и u(x) - дифференцируемые функции. Тогда, если v(x) ≠ 0, то производная частного этих функций вычисляется по формуле
6.Понятие сложной функции.
Понятие сложной функции
Пусть функция z = f(x,y) определена в некоторой окрестности точки (x0, y0) . Пусть ее аргументы x и y в свою очередь являются функциями x = x(t) , y = y(t) и определены в некоторой окрестности точки t0 , причем x(t0) = x0 , y(t0) = y0 .
Тогда в окрестности точки t0 определена сложная функция аргумента t
|
|
|
Аналогично определяется сложные функции любого числа переменных.
Например, если x и y — функции 2–х переменных: x = x(u,v) и y = y(u,v) , то функция z = f(x,y) является сложной функцией двух переменных u и v :
|
|
|
|
|
Дифференцирование сложной функции.
Рассмотрим функцию y = sin x2. Чтобы найти значение этой функции в фиксированнной точке x нужно: 1) вычислить x2; 2) найти значение синуса от полученного значения x2. Иными словами, сначала надо найти значение g(x) = x2, а потом найти sin g(x). В подобных случаях говорят, что задана сложная функция y = f(g(x)). В нашем примере u = g(x) = x2, а y = f(u) = sin u.
Правило вычисления производной сложной функции.
Правило вычисления производных
Если функции f и g имеют конечные производные при , то:
1) - постоянные;
2) ;
3) .
Производная сложной функции
Если функции имеют конечные производные и , то . Значком внизу обозначена переменная, по которой вычисляется производная.
Таблица производных
Если x - независимая переменная, то справедливы формулы:
1) ;
2) (ax)' = ax ln a, a > 0, (ex)' = ex;
3) (sin x)' = cos x;
4) (cos x)' = - sin x;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) ;
11) ;
12) (sh x)' = ch x;
13) (ch x)' = sh x;
14) ;
15) ;
16) ;
17) ;
18) ;
19) .
пример
Вычислить производную функции y=(3x 3 -2x+1) sin x.
Решение. По правилу 3, y'=(3x 3 -2x+1)' sin x + (3x 3 -2x+1) (sin x)' = = (9x 2 -2)sin x + (3x 3 -2x+1)cos x.
7.Теоремы Ролля и Лагранжа
Теорема Ролля. Если функция f(x) непрерывна на замкнутом интервале [а, b], имеет внутри интервала производную и если
f(a) = f(b)
то внутри интервала [а, b] найдется хотя бы одно такое значение x0 (a < x0 < b), что
f ' (x0) = 0.
Теорема Лагранжа. Если функция f(x) непрерывна на замкнутом интервале [а, b] и внутри него имеет производную f ' (x), то найдется хотя бы одно такое значение x0 (a < x0 < b), что
f(b) - f(a) = (b - a)f '(x).