5.2. Скорость точки

Скорость точки – векторная величина, характеризующая быстроту и направление движения точки в данный момент времени.

Пусть движение точки относительно неподвижной системы отсчета задано уравнением , т. е. векторным способом. В момент времени точка занимает положение , определяемое радиус-вектором , а в момент – положение , определяемое радиус-вектором . Вектор , соединяющий положения и и равный приращению радиус-вектора за время называется вектором перемещения точки за время - . Векторная величина называется средней скоростью точки за время . Поскольку – положительная скалярная величина, то вектор направлен по хорде в сторону движения точки (рис. 2).

Скоростью точки в данный момент времени называется векторная величина , равная пределу, к которому стремится при :

(6)

(В механике производная от функции по времени может обозначаться точкой над функцией).

При положение точки неограниченно приближается к положению , а линия действия стремится к положению касательной к траектории в точке (рис. 2).

Итак, вектор скорости точки в данный момент времени равен первой производной от радиус-вектора точки по времени и направлен по касательной к траектории в сторону движения точки.

Из рис. 1, 2 видно, что проекции радиус-вектора на координатные оси равны соответствующим координатам точки, а именно:

.

Поэтому согласно формуле разложения вектора по координатным осям имеем

, (7)

где – орты осей системы отсчета. Зависимость (7) устанавливает связь между векторным и координатным способами задания движения точки.

Пусть движение точки задано уравнениями (2), то есть координатным способом. Согласно формулам (6) и (7) имеем

. (7а)

Так как система отсчета принята за неподвижную, орты ее осей постоянны по модулю и направлению и поэтому:

. (7б)

С учетом этого обстоятельства можно написать:

. (8)

С другой стороны, согласно формуле разложения вектора по координатным осям:

, (9)

где – проекции вектора скорости по координатным осям.

Сравнивая выражения (8) и (9), находим

. (10)

Проекции скорости точки на неподвижные оси декартовых координат равны первым производным по времени от соответствующих координат точки.

Модуль вектора скорости точки равен

. (11)

Направление вектора скорости находится по направляющим косинусам:

. (12)

Пусть заданы траектория точки и закон движения точки по траектории , то есть движение точки задано естественным способом.

Можно показать (вывод прочитать самостоятельно), что вектор скорости при этом определяется формулой:

. (13)

Здесь - проекция вектора на касательную ось, называемая алгебраической величиной скорости, и определяемая следующей формулой:

. (14)

Таким образом, проекция вектора скорости на ось касательной к траектории равна первой производной по времени от дуговой координаты.

Модуль вектора скорости можно представить в виде,

. (15)