8.3. Скорости точек плоской фигуры

Установим зависимость между скоростями точек плоской фигуры. Допустим, что скорость полюса плоской фигуры известна и требуется определить скорость любой другой точки ее, например точки . Полагаем, что угловая скорость вращения фигуры также известна. Из начала неподвижной системы отсчета проведем в точки и радиус-векторы и . Соединим точки и радиус-вектором , проведенным из точки к точке (рис. 16).

Во все время движения между этими радиус-векторами сохраняется зависимость

. (65)

Дифференцируя это соотношение по получим

,

но так как в соответствии с (6) ,

то имеем:

. (66)

Поскольку модуль вектора при движении сохраняется постоянным, а направление его при вращении плоской фигуры вокруг полюса изменяется, то производная представляет собой скорость вращения точки вокруг полюса , и в соответствии с (55) имеем

. (67)

Тогда выражение (66) принимает вид:

. (68)

Тем самым доказана теорема: скорость любой точки плоской фигуры равна геометрической сумме скорости полюса и скорости этой точки во вращении фигуры вокруг полюса.

Вектор направлен перпендикулярно к радиус-вектору в сторону вращения фигуры и по модулю равен

. (69)

Зависимость (68) представлена на рис. 16 параллелограммом векторов скоростей.

Использование зависимости (68) в ряде случаев существенно облегчается при помощи следующей теоремы: проекции скоростей двух точек плоской фигуры на ось, проходящую через эти точки, равны между собой. Пусть известны скорости и двух точек плоской фигуры и (рис. 17). Согласно зависимости (68) , где – скорость точки во вращении фигуры вокруг точки , принятой за полюс. Проектируя обе части этого равенства на ось , проходящую через точки и , и учитывая, что , так как , имеем:

. (70)

Теорема доказана.

8.4. Мгновенный центр скоростей плоской фигуры

Мгновенным центром скоростей (МЦС) называется точка плоской фигуры , скорость которой в данный момент времени равна нулю.

Покажем, что такая точка существует при . Примем точку фигуры за полюс (рис. 18), пусть скорость этой точки известна по модулю и направлению; известна также и угловая скорость плоской фигуры.

П овернем луч, по которому направлен вектор скорости , _,на 90° в сторону вращения фигуры и отложим на ней отрезок , равный отношению .

Скорость точки в соответствии с (68) равна .

Здесь - скорость вращения точки с фигурой вокруг полюса , причем модуль ее равен

.

Из рис. 18 видно, что .

Следовательно, , возможность существования МЦС доказана.

Понятие МЦС позволяет получить наглядную картину распределения скоростей точек плоской фигуры. Примем МЦС за полюс. Тогда скорость любой точки плоской фигуры на основании (121) будет равна ; а так как по определению, то:

, (71)

т. е. скорость любой точки плоской фигуры можно считать скоростью вращения данной точки вокруг МЦС.

Скорости точек при плоском движении распределяются в каждый момент времени так же, как и при вращении тела вокруг неподвижной оси. Роль оси вращения играет мгновенная ось, проходящая через МЦС (точку ) перпендикулярно плоскости движения.

Положение МЦС на движущейся фигуре не остается неизменным; в различные моменты времени МЦС являются различные точки фигуры. Отметим, что точка может оказаться и за пределами плоской фигуры. Тогда ее следует рассматривать как точку плоскости, неизменно связанной с фигурой и движущейся вместе с ней.

Допустим, что скорости точек и плоской фигуры известны. В соответствии с (71) модули скоростей этих точек определяются как

.

Отсюда получаем следующую пропорцию:

. (72)

Модули скоростей точек плоской фигуры пропорциональны длинам отрезков, соединяющих эти точки с мгновенным центром скоростей.

Из рисунка 19 видно, что поскольку отрезки и должны быть перпендикулярными к и , то положение МЦС определяется как точка пересечения перпендикуляров, восстановленных из точек и к векторам и .

Зная положение МЦС и модуль скорости одной из точек из пропорции (72) можно найти модуль скорости любой другой точки. С другой стороны, зная модуль скорости любой точки и положение МЦС плоской фигуры можно найти модуль угловой скорости вращения плоской фигуры

. (73)

Рассмотрим некоторые частные случаи определения положения мгновенного центра скоростей.

1

Рис. 20

. Известны скорости точек и плоской фигуры, скорости параллельны друг другу и перпендикулярны отрезку (рис. 20). Причем эти скорости не равны по модулю (рис 20а), либо направлены противоположно (рис. 20б). В этом случае перпендикуляры к и , восстановленные из точек и , совпадают с прямой , на которой лежит МЦС. Из (72) следует, что МЦС находится в точке пересечения прямой с прямой , проходящей через концы векторов и (рис. 20 а, б).

2. Известны линии направлений скоростей точек и плоской фигуры в данный момент времени; они параллельны, но неперпендикулярны (рис. 21). В этом случае перпендикуляры к и , восстановленные из точек и не совпадают, но параллельны. Следовательно, МЦС не существует, или, как говорят, удален в бесконечность ( ). Согласно (73) угловая скорость , а скорости всех точек плоской фигуры геометрически равны в соответствии с (72).

Отметим, что в случае || , , а также , , МЦС также удален в бесконечность.

В рассмотренном случае движение фигуры не является поступательным, так как точки могут иметь различные, отличные от нуля, ускорения.

3. Часто плоское движение тела осуществляется путем качения его по некоторой неподвижной поверхности (рис. 22). Если скольжение в точке касания отсутствует, то эта точка тела и является его МЦС - .