3. Интегрирование «по частям» в неопределенном интеграле

Пусть функции имеют непрерывные производные . По правилу дифференцирования произведения двух функций, имеем:

Откуда . Интегрируя последнее равенство:

;

- Формула интегрирования по частям.

Смысл этого правила в переходе от интегрального выражения к выражению , которое может оказаться более простым.

Алгоритм нахождения интеграла методом интегрирования по частям.

1. Представить подынтегральное выражение в виде произведения .

2. Найти и .

3. Применить формулу интегрирования по частям .

4. Найти интеграл .

5. Подставить результат в найденное в алгоритме (п. 3) выражение.

Примечание:

I. . Следует полагать:

Следует полагать:

Следует полагать:

II. Следует полагать:

.Следует полагать: .

.Следует полагать: .

(где через обозначен многочлен).

Интегрирование «по частям» применяется к интегралам вида:

, где - рациональная функция, - трансцендентная функция, , - рациональная функция, т.е. многочлен любой степени.

Примеры.

1)

2)

4. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен

1. Интегралы вида ,

после выделения полного квадрата из трехчлена, стоящего в знаменателе, приводятся к табличным интегралам:

Примеры. Вычислить

1. 

.

2. 

.

II.Для нахождения интегралов вида:

,

следует выделить в числителе дроби производную квадратного трехчлена и разложить полученный интеграл на сумму 2-х интегралов: первый из них имеет табличный вид: , а второй – это интеграл вида или .

Примеры.

1)

.

2)

.

III. Интегралы вида путем выделения полного квадрата трехчлена сводятся к табличным.

5. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование

Определение: Рациональной дробью называется функция, представленная отношением двух многочленов.

Определение: Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя и неправильной в противном случае.

Примеры: .

1- правильная, 2,3 – неправильные. Любую неправильную дробь можно представить в виде суммы правильной дроби и многочлена.

Например:

Определение: Простейшими дробями называются дроби вида:

1. интеграл от дроби

2. .

3. (рассмотрено в пункте 1.4.).

4. 

Интегрирование этой простейшей дроби производится с помощью таких же преобразований, как в дробях третьего вида и рекуррентной формулы:



Применяя формулу  раз, придем к табличному интегралу:

.

Пример.

.

Интегрирование рациональных дробей

Пусть - многочлен -ой степени, т.е.

Из алгебры известно, что многочлен имеет п корней и, следовательно, его можно разложить на множители:

, где - корни. (1)

Например: .

Любая правильная дробь может быть единственным образом представлена в виде суммы простейших дробей. Если знаменатель дроби разложен на множители в виде , то представление дроби в виде суммы простейших дробей запишется так: (2)

Линейным множителям соответствуют простейшие дроби первых двух типов, а квадратичным множителям - простейшие дроби третьего и четвертого вида, причем число слагаемых, соответствующих каждому множителю знаменателя равно показателю степени этого множителя. Например:

1. 

2. ;

3. Коэффициенты все неизвестны и называются неопределенными коэффициентами. Для их нахождения нужно привести дроби в правой части равенства к общему знаменателю (он будет таким же, как в левой части) и приравнять коэффициенты в числителях.

Получается система линейных уравнений, которая имеет единственное решение.

Пример. Вычислить интеграл:

1. Разложим дробь на сумму простейших дробей:

2) Составим систему:

при

3) т.е. дробь разделили на разность 2-х дробей. Следовательно, интеграл разбивается на разность двух интегралов.

4. 



.

Пример. .

Выделим целую часть, т.к. дробь неправильная, то надо разделить многочлен на многочлен.

Рассмотрим дробь второго интеграла: .

1. Раскладываем на множители знаменатель: ,

.

при