- •1.2. Понятие неопределенного интеграла и его свойства
- •Свойства неопределенного интеграла
- •1.3. Правила и формулы интегрирования Правила:
- •2. Замена переменной в неопределенном интеграле
- •Алгоритм интегрирования методом замены переменной.
- •3. Интегрирование «по частям» в неопределенном интеграле
- •- Формула интегрирования по частям.
- •Алгоритм нахождения интеграла методом интегрирования по частям.
- •4. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен
- •Интегралы вида ,
- •5. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование
- •Интегрирование рациональных дробей
- •6. Интегрирование некоторых иррациональных выражений
- •7. Интегрирование тригонометрических функций
- •8. Определенный интеграл
- •8.1. Понятие определенного интеграла.
- •8.2. Геометрический смысл определенного интеграла
- •8.3. Свойства определенного интеграла
- •8.4. Интеграл как функция переменного верхнего предела
- •8.5. Производная от интеграла по переменному верхнему пределу.
- •8.6. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница
- •8.7. Замена переменной в определенном интеграле
- •8.8. Интеграл с симметричными пределами от четной и нечетной функции
- •8. 9. Интегрирование «по частям» в определенном интеграле
- •4. Длина дуги кривой и ее дифференциал.
- •Задача о вычислении пути.
- •12. Несобственные интегралы
- •12.1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами
- •12.2. Применение формулы Ньютона-Лейбница.
- •12.3. Несобственные интегралы с конечными пределами
12. Несобственные интегралы
12.1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами
Пусть функция определена на и интегрируема на любом конечном отрезке т.е. при любых существует интеграл:
. Если меняется, то данный интеграл будет функцией переменного верхнего предела и тогда можно говорить о вычислении этой функции.
Определение. Предел интеграла при называется несобственным интегралом функции с бесконечным верхним пределом. Обозначается так:
Если указанный предел существует и конечен, то говорят, что данный несобственный интеграл сходится. Если предел не существует или равен бесконечности, то данный несобственный интеграл расходится.
Пусть теперь определена на и интегрируема на любом конечном отрезке следовательно, существует интеграл
Определение. Предел при называется несобственным интегралом функции с бесконечными пределами снизу.
Обозначается так:
Если указанный предел существует и конечен, то несобственный интеграл сходится. Если предел не существует или равен бесконечности, то несобственный интеграл расходится.
Определение. Несобственный интеграл с бесконечным верхним и бесконечным нижним пределом определяется равенством где а любое число.
Пример. Вычислить:
12.2. Применение формулы Ньютона-Лейбница.
Пусть требуется вычислить несобственный интеграл и пусть известна первообразная для
т.е. вместо х в первообразной формально подставляют Таким образом, мы можем пользоваться формулой Ньютона-Лейбница.
Аналогично,
Пример.
Иногда, в теории и на практике бывает важно установить, сходится или расходится несобственный интеграл не вычисляя его. Это возможно, благодаря признакам сравнения.
Теорема 1. Пусть две положительные функции, определенные в промежутке причем хотя бы при где Тогда, если сходится, то также сходится. Если расходится, то также расходится.
Теорема 2. Пусть знакопеременная функция, и если сходится, то сходится и интеграл . (Без доказательства).
На практике при исследовании интегралов на сходимость важна функция Выясним, при каких сходится или расходится интеграл от этой функции.
Пример.
Пусть тогда
Если , то при следовательно интеграл равен бесконечности и он расходится.
Если то при и интеграл сходится.
Если то и интеграл расходится.
Вывод:
Пример. Исследовать на сходимость интеграл: Сделаем оценку сходятся, т.к. . Следовательно, исходный интеграл сходится.
Теоремы (1) и (2) справедливы и для и
12.3. Несобственные интегралы с конечными пределами
Пусть функция определена на но не интегрируема на нем. Предположим, что интегрируема на любом Это значит, существует интеграл: а - не существует. В этом случае точка называется особой точкой функции
Определение: называется несобственным интегралом функции с конечными пределами, т.е.
Если предел существует и конечен, то интеграл называется сходящимся, если предел бесконечен или не существует, то интеграл расходится.
Пример. - особая точка, функция в ней не существует.
Пусть теперь интегрируема на любом и неинтегрируемая на В этом случае точка а - особая и несобственный интеграл определяется так:
Может случиться так, что точки а и b – особые. Тогда
Может оказаться так, что особая точка может оказаться внутри области. С – особая, причем
В этом случае функция интегрируема на и не интегрируема на В данном случае несобственный интеграл вычисляется как предел суммы двух интегралов
Аналогично определяется несобственный интеграл, когда внутри имеется несколько особых точек функции.
Для несобственных интегралов с конечными пределами справедливы теоремы 1, 2.
На практике, при исследовании несобственных интегралов с конечными пределами на сходимость используются функции где Нетрудно проверить, что интегралы сходятся при а расходится при
Пример. Исследовать на сходимость особая. Т.к. на то Рассмотрим - сходится, т.к. Следовательно наш интеграл сходится.