Сложное движение точки.

Сложное или составное движение – это движение точки по отношению к двум системам отсчета, одна из них, связанная с неподвижным толом “B” называется абсолютной, а другая – подвижная система “A” движется относительно неподвижной “B”.

z

r

A a

M

e

y

x B

Точка М перемещается внутри или по поверхности тела А, которое еще называется переносной средой (поскольку оно не всегда обязательно твердое). В свою очередь тело А перемещается относительно условно неподвижного тела В.

Пример: движение куска руды относительно конвейера, который перемещается вдоль выработки.

Движение точки М относительно подвижного тела А называется относительным, траектория, скорость такого движения также будут относительными траектории, скорости и ускорения. Относительное движение увидит наблюдатель находящийся вместе с телом А.

На рисунке можем изобразить лишь какой-то фрагмент относительной траектории, поскольку она перемещается вместе с телом А.

Движение точки М вместе с телом А относительно неподвижного тела В, называется переносным движением. Точнее, переносное это движение той точки переносной среды А, относительно неподвижного тела В с которым в данный момент совпадает точка М. Траектория, скорость и ускорение этого движения также соответственно будут переносными траектории скоростью и ускорения.

Движение точки М по отношению к неподвижному телу В или к неподвижной системе отсчета называется абсолютным или составным движением. Именно абсолютное движение видит наблюдатель связанный неподвижным телом В. Траектория, скорость и ускорение - абсолютные траектория, скорость и ускорение.

Пример: движение ползуна вдоль вращающегося кривошипа.

3 2

А

О

Движение ползуна вдоль кривошипа ОА относительное. Фрагментами относительных траекторий будут фрагменты кривых вдоль кривошипа до соответствующих положений ползуна. Переносным движением будет вращательное движение точки К кривошипа, через которые в данный момент проходит ползун. Поэтому фрагментами переносных траекторий будут фрагменты окружностей соответствующего радиуса ОР.

Составным или абсолютным движением будет движение ползуна относительно неподвижного основания, его траекторию получим, соединяя различные положения ползуна Р. В данном случае абсолютная траектория это некоторая разворачивающаяся спираль.

Теорема сложения скоростей и ускорений в составном движении.

1) Теорема сложения скоростей.

При составном движении точки её абсолютная скорость складывается из векторов относительной и переносной скоростей.

(1)

примеры: найдем абсолютную скорость в предыдущем примере.

А

Р

О

Движение ползуна началось из центра “O”.

Поскольку переносное движение, здесь вращательное с радиусом ОР то переносная скорость направлена, перпендикулярна этому радиусу. Так как здесь векторы и ортогональны их сумма, то есть относительная скорость определяется по теореме Пифагора:

, здесь, следовательно

Вообще с помощью теоремы (1) построив соответствующий параллелограмм скоростей можно всегда найти какую либо одну скорость по двум другим.

2)Теорема сложения ускорений.

Рассмотрим два случая: упрощенный и усложненный

Упрощенный (когда переносное движение поступательное)

Дифференцируя (1) по времени здесь легко получить (2) т.е. здесь также абсолютное ускорение векторно складывается из относительного и переносного. Следовательно, также должен выполнятся параллелограм ускорений:

Как и в предыдущем примере зная, например один из векторов ускорений здесь и один из углов (любой) в параллелограмме, можно найти два других вектора.

2. Усложненный случай (случай вращательного переносного движения).

Здесь вводят вектор угловой скорости переносного вращения. Тогда теорема сложения ускорений записывается так:

(3)

т.е. здесь появляется дополнительное ускорение - ускорение Кориолиса, для него справедливо векторное равенство:

(4)

Если в (4) положить, то видно, что обратится в ноль, то получается предыдущий случай пост. Переносного движения.

Пример: С

М

О

Ю

Построим для точки М ускорение в ф.(3). Здесь вектор ускорения по правилу векторного произведения будет направлен вдоль соответствующей параллели на восток. Возникает закон БЭРа: такое ускорение Кориолиса приводит к тому, что в частицы воды в реках текущих с севера на юг имеют некоторое восточное ускорение, по законам динамики, они с соответствующей силой “давят” на западный берег, т.е. подмывают его.