42. Точечные оценки параметров распределения, их свойства

Имеется некоторая СВ X, значения которой мы называем генеральной совокупностью, и которую мы на основании выборочных значений мы должны изучить. Если эта величина непрерывна, то она имеет плотность распределения, если дискретна – закон распределения. В обоих случаях эта величина имеет функцию распределения. Все эти функции зависят от некоторых числовых параметров.

Точечной оценкой параметра распределения называется число, которое находится по данным выборки. .

Задача точечной оценки состоит в том, чтобы подобрать функцию, которая на основании выборочных значений дала оценку неизвестного параметра. Точечной распределения оценкой может быть любое число, если не уточнять какое отношение эта оценка имеет к самому параметру.

Свойства точечных оценок

Для репрезентативности выборки, выборочные значения должны быть независимыми СВ. Значение независимых СВ, т.е значение точечной оценки будет также случайной величиной.

1. Точечная оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру.

2. Точечная оценка называется эффективной, если ее дисперсия минимальна, по сравнению с дисперсиями других оценок, полученных на основании выборки того же объема. D → min

3. Оценка называется состоятельной, если она по вероятности сходится к оцениваемому параметру P( → Θ) →1

Таким образом формулы точечных оценок параметров распределения нужно выбирать чтобы эта оценка обладала 3-мя свойствами, т.е была не смещенной, эффективной и состоятельной.

42. Точечная оценка математического ожидания, ее свойства

Точечной оценкой математического ожидания является выборочное среднее. Эта оценка является несмещенной, состоятельной и эффективной.

– выборочное среднее.

Покажем, что эта оценка является несмещенной

Далее по теореме Чебышева, для любого ε>0 имеет место равенство

Которое согласно условию теоремы можно переписать так:

Или, что то же самое, , согласно определению получаем, что - состоятельная оценка Мx.

Также она является и эффективной, т.е

Ели СВ непрерывная, то результаты измерений записываются в виде интервального вариационного ряда. И при нахождении выборочной средней в качестве значений x_i берут середины интервалов.

42. Точечная оценка дисперсии, ее свойства

Для оценки дисперсии используют выборочную дисперсию:

Можно доказать, что выборочная дисперсия является смещенной оценкой генеральной совокупности, поэтому при небольших объемах выборки используют исправленную выборочную дисперсию.

Обе этих дисперсии являются состоятельными и эффективными оценками генеральной дисперсии. По аналогии с дисперсией СВ можно показать, что выборочная дисперсия равна выборочному среднему квадратов значений выборки минус квадрат выборочного среднего значения:

По исправленной выборочной дисперсии записывают оценку среднего квадратичного отклонения.

42. Интервальные оценки. Доверительные вероятности

Оценка неизвестного параметра называется интервальной, если она определяется двумя числами – концами интервала.

Доверительным интервалом для оценки некоторого параметра называется интервал со случайными концами, который с данной вероятностью γ покрывает неизвестные значения этого параметра.

–доверительная вероятность

Иногда рассматривают число α = 1 – γ, которое называют уровнем значимости. Подчеркнем, что в формуле доверительного интервала его концы – случайные величины.

Для того чтобы найти доверительный интервал для заданного параметра распределения, необходимо знать закон распределения точечной оценки соответствующего параметра, поэтому доверительные интервалы записываются для точечных оценок конкретных законов распределения и конкретных параметров.