3.2. Числовые характеристики.

 Используя формулы для вычисления математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения нетрудно убедится, что для показательного распределения

     .

Таким образом, для показательного распределения характерно, что среднее квадратическое отклонение численно равно математическому ожиданию.

Найдем вероятность попадания СВ в интервал (a,b):

3.3. Функция надежности.

Пусть некоторое устройство начинает работать в момент времени t₀ = 0, а по истечении времени длительностью t происходит отказ. Обозначим через Т НСВ - длительность времени безотказной работы устройства. Если устройство проработало безотказно время меньшее t, то, следовательно, за время длительностью t наступит отказ. Тогда функция распределения F(t)=P(T<t)=1- e^-t определяет вероятность отказа устройства за время t.

 Найдем вероятность противоположного события- безотказной работы за время t:

 .

Функция R(t) называется функцией надежности.

Выясним смысл числовых характеристик и параметра распределения.

 Математическое ожидание - это среднее время между двумя ближайшими отказами устройства, а величина обратная математическому ожиданию (параметр распределения)- интенсивность отказов, т.е. количество отказов в единицу времени.

 

Пример. Время безотказной работы устройства распределено по закону

  

Найти среднее время безотказной работы устройства, вероятность того, что устройство не откажет за среднее время безотказной работы. Найти вероятность отказа за время t= 100 часов.

Решение:

По условию интенсивность отказов  =0,02. Тогда среднее время между двумя отказами, т.е. математическое ожидание М(Х)=1/0,02=50часов. Вероятность безотказной работы за этот промежуток времени вычислим по функции надежности:

По функции F(t) вычислим вероятность отказа за время t =100 часов:

В одном и том же случайном эксперименте можно рассматривать не одну, а несколько - n - числовых функций, определенных на одном и том же пространстве элементарных событий. Совокупность таких функций называется многомерной случайной величиной или случайным вектором и обозначается  .

Точнее. На вероятностном пространстве   заданы случайные величины  ; каждому    эти величины ставят в соответствие n-мерный вектор  , который называется n-мерным случайным вектором (n-мерной случайной величиной).

 

Многомерные случайные величины. Функции распределения многомерных случайных величин.

 

Функцией распределения случайного вектора   или совместным распределением случайных величин   называется функция, определенная равенством

,

где  .

По известной многомерной функции   можно найти распределение каждой из компонент  .

Например, если   - двумерная случайная величина, имеющая совместное распределение  , то распределения компонент   и   вычисляются соответственно по формулам:

,  .

36. Распределение непрерывной двумерной случайной величины. Совместная плотность распределения и распределение компонент в отдельности.

Непрерывная двумерная случайная величина

Двумерная случайная величина называется   непрерывной, если существует такая неотрицательная функция  , называемаядвумерной плотностью вероятности, что вероятность попадания случайной величины   в область   равна двойному интегралу от плотности по этой области:

. (7)

Из равенства (7) следует формула для нахождения функции распределения двумерной непрерывной случайной величины по известной плотности распределения:

. (8)

Свойства двумерной плотности вероятности

1.   неотрицательная функция и определена на всей плоскости  .

2.   в каждой точке непрерывности плотности.

3.  ;  . (9)

4.  . (10)

Формулы (9) означают, что из плотности распределения двумерной случайной величины можно получить   – плотности распределения ее одномерных компонент.

Условной плотностью распределения компоненты   при заданном значении   называют отношение плотности совместного распределения случайной величины к плотности распределения случайной величины  :

.

Аналогично определяется условная плотность распределения компоненты  :

.

Как и любая плотность распределения, условные плотности обладают следующими свойствами:

,  , и  ,  .

Зависимость и независимость двух случайных величин

Случайные величины   называются независимыми, если независимыми являются события   и   для любых вещественных  . В противном случае величины называются зависимыми.

Общее необходимое и достаточное условие независимости двух случайных величин:

, (11)

где   – любые вещественные числа.

Необходимое и достаточное условие независимости двух непрерывных случайных величин:

, (12)

где   – любые вещественные числа.

Если условные плотности распределения случайных величин   и   равны их безусловным плотностям, то такие величины независимы.

Необходимое и достаточное условие независимости двух дискретных случайных величин:

, (13)

где  ;  .