42. Точечная оценка дисперсии, ее свойства

Для оценки дисперсии используют выборочную дисперсию:

Можно доказать, что выборочная дисперсия является смещенной оценкой генеральной совокупности, поэтому при небольших объемах выборки используют исправленную выборочную дисперсию.

Обе этих дисперсии являются состоятельными и эффективными оценками генеральной дисперсии. По аналогии с дисперсией СВ можно показать, что выборочная дисперсия равна выборочному среднему квадратов значений выборки минус квадрат выборочного среднего значения:

По исправленной выборочной дисперсии записывают оценку среднего квадратичного отклонения.

42. Интервальные оценки. Доверительные вероятности

Оценка неизвестного параметра называется интервальной, если она определяется двумя числами – концами интервала.

Доверительным интервалом для оценки некоторого параметра называется интервал со случайными концами, который с данной вероятностью γ покрывает неизвестные значения этого параметра.

–доверительная вероятность

Иногда рассматривают число α = 1 – γ, которое называют уровнем значимости. Подчеркнем, что в формуле доверительного интервала его концы – случайные величины.

Для того чтобы найти доверительный интервал для заданного параметра распределения, необходимо знать закон распределения точечной оценки соответствующего параметра, поэтому доверительные интервалы записываются для точечных оценок конкретных законов распределения и конкретных параметров.

42. Доверительный интервал для неизвестного математического ожидания нормально распределенной случайной величины при известной дисперсии

Имеется генеральная совокупность, которая распределена по нормальному закону с известной дисперсией. Требуется по результатам выборки построить доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания.

Dѯ = σ² Mѯ =a

x₁, x₂, …, x_n – строим на основании выборки точечную оценку.

Пусть задана доверительная вероятность γ, т.е вероятность, с которой нам требуется гарантировать, что математическое ожидание а попадет в доверительный интервал.

,

Где Φ(t_γ) = γ, где Φ –функция Лапласа.

Для решения такого уравнения по таблице значений функции Лапласа нужно найти аргументы , при которых функция Лапласа принимает значение γ.

Число называется точностью оценки, легко видеть, что точность оценки возрастает, если уменьшается дисперсия, либо возрастает объем выборки.

Если точность оценки задана, то мы можем найти объем выборки, который гарантирует эту точность.

42. Доверительный интервал для неизвестного математического ожидания нормально распределенной случайной величины при неизвестной дисперсии

В большинстве практических задач известно, либо можно доказать, что СВ распределена по нормальному закону, но ни математическое, ин дисперсия для нее неизвестны, тогда использовать предложенный доверительный интервал нельзя. Потому, что для дисперсии также нужно найти точечную оценку. В этом случае доверительный интервал имеет вид:

, где S – точечная оценка исправленной выборочной дисперсии, a находится по таблице распределения Стьюдента при заданном γ и заданном n, которое называется числом степеней свободы.