- •1.Основные понятия теории вероятностей. Классическое, статистическое и геометрическое определения вероятности. Основные понятия тв.
- •Статистическое определение вероятности
- •Геометрическое определение вероятности
- •2. Алгебраические операции над событиями. Отношение м/д событиями. Аксиоматическое определение вероятности события. Отношение м/д событиями
- •Аксиоматическое определение вероятностей события
- •3.Основные свойства вероятностей. Правило сложения вероятностей. Условные вероятности. Теорема умножения вероятностей. Независимые события.
- •4.Формула полной вероятности. Формула Байеса.
- •5.Повторение испытаний. Формула Бернулли.
- •6.Локальная и интегральная теоремы Лапласа.
- •7. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях.
- •8. Наивероятнейшее число появлений события при повторных испытаниях по схеме Бернулли.
- •9. Случайные величины. Закон распределения вероятностей. Биноминальное распределение. Геометрическое распределение.
- •10. Распределение Пуассона.
- •11. Функция распределения св и ее свойства.
- •12. Непрерывные св. Равномерный закон распределения.
- •13 Показательный закон распределения. Нормальный закон распределения.
- •14 Многомерные случайные величины. Ф-ция распределения многомерной случайной величины, её свойства.
- •15 Двумерные непрерывные св. Плотность распределения вероятностей двумерной св, её свойства
- •16 Двумерные св. Условные законы распределения.
- •17 Независимые случайные величины. Критерий независимости.
- •18 Функции случайных величин, их законы распределения.
- •19.Числовые характеритики св.
- •20.Моменты распределения одномерной св.
- •21.Ковариация и коэффициент линейной корреляции 2 св, их свойства.
- •22.Условное мат ожидание
- •23. Двумерное нормальное распределение. Условие независимости некоррелированных св.
- •24.Теорема об условных распределениях компанент двумерной нормально распределенной св.
- •25 Характеристические функции случайных величин, их свойства. Примеры
- •26. Неравенства Маркова и Чебышева.
- •27. Теорема Чебышева. Теорема Маркова.
- •28. Центральная предельная теорема.
- •29. Теорема Ляпунова. Интегральная теорема Лапласса.
- •30. Распределение выборки. Эмпирическая функция распределения.
- •33. Оценка дисперсии случайной величины.
- •34. Неравенство Рао-Крамера. Следствие для несмещенной оценки
- •35. Эффективная оценка мат. Ожидания нормальной распределенной величины.
- •36. Асимптотически эффективные и сверх эффективные оценки. Теорема о состоятельности оценки.
- •37. Условные законы распределения. Условное мат. Ожидание.
- •38.Достаточные статистики. Критерий факторизации
- •39.Теорема Колмагорова – Блекуэлла.
- •41. Метод моментов
- •42. Распределение….
- •43. Распределение Стьюдента.
- •44. Теоремы о случайной величине, имеющей распределение Стьюдента.
- •45. Распределение Фишера. Теорема о случайной величине, имеющей распределение Фишера
- •46 Доверительный интервал для мат. Ожидания нормально распределенной с.В.( -неизвестно)
- •47 Доверительный интервал для мат. Ожидания нормально распределенной с.В.( -известно)
- •48 Доверительный интервал для дисперсии нормально распределеннной с.В.
- •55 Проверка гипотезы о равенстве двух дисперсий нормально распределенный с.В.
38.Достаточные статистики. Критерий факторизации
39.Теорема Колмагорова – Блекуэлла.
Рассмотрим случайный вектор =(х1,х2,…,хn), плотность распределения которого зависит от параметра ϴ, то есть записать р( ,ϴ)
Теорема. Пусть t( ) достаточная статистика семестрва распределения р( ,ϴ) , а ( ) – несмещенная оценка параметра ϴ с конечной дисперсией, тогда =М( /t) t= t( ) будет несмещенной оценкой параметра ϴ, причем ( ) D( ).
Док-во: Заметим, что действительно является оценкой, т.к. не зависит от ϴ, поскольку t( )-достаточная статистика.
Покажем , что несмещенная оценка ϴ
М( )=М(М(ϴ/t))
По условию - несмещенная оценка, а это значит, что М( )=ϴ. Таким образом М( )=М(М( /t))=М( )=ϴ тогда получим, что - оценка несмещенности.
D( )
При фиксированном t следует
, , тогда имеем так как . Теорема доказана.
40. Метод наибольшего правдоподобия.
Суть: Для получения оценки произвольного параметра нужно найти такое значение , при котором вероятность реализации случайного вектора (х1,х2,…,хn)(то есть вероятность выборки ) была минимальной.
А) Случай непрерывной случайной величины(СВ).
Пусть случайный эксперимент описывается непрерывной СВ Х, плотность распределения которой содержит неизвестный параметр ϴ, тогда случайный вектор (х1,х2,…,хn) с независимыми составляющими хi распределенными по тому же закону, что Х имеет следующую плотность распределения вероятности:
L(х1,х2,…,хn;ϴ)=p(x1;ϴ)p(x2;ϴ)…p(xn;ϴ)
Опр. Плотность L(х1,х2,…,хn;ϴ) рассмотренная как функция параметра ϴ называется функцией правдоподобия.
Рассмотрим вероятность попадания выборки в n-мерный параллелепипед с центром в (х1,х2,…,хn) и с длинами ребер ∆х1,∆х2,…,∆хn тогда вероятность эта:
L(х1,х2,…,хn;ϴ) ∆х1,∆х2,…,∆хn (*)
Дальше находим значение параметра ϴ при котором вероятность (*) принимает максимальное значение. Искомая точка максимума является точкой максимума функции правдоподобия L(х1,х2,…,хn;ϴ) (хi - фиксированые).
Опр. Величина = (х1,х2,…,хn) являющаяся точкой максимума функции правдоподобия, называется оценкой наибольшего правдоподобия параметра ϴ.
Б) Случай дискрктной случайной величины (СВ)
Пусть эксперимент описывается дискретной СВ Х, распределение вероятностей которой зависит от некоторого параметра ϴ.
Р(Х=zj)=p(zj,ϴ) (j=1,2,…,n,…)
Вероятность того, что независимые составляющие случайного вектора (х1,х2,…,хn) распределенные по тому же закону, что Х принимают значения (х1,х2,…,хn) будет следующей
Если нужно найти оценки наибольшего правдоподобия параметров ϴ1,ϴ2,….,ϴn, то решают систему уравнений:
, ,…………………
Вместо (***) часто решают
41. Метод моментов
Пусть эксперимент описывается случайной величиной Х и пусть получается выборка (х1,х2,…,хn).
Опр. Начальным статистическим моментом к-того порядка называется величина:
(*)
Замечание. -среднее выборочное
Опр. Центральным статистическим моментом к-того порядка называется величина:
(**)- выборочная дисперсия
Суть Статистические моменты (*) и (**) применяются в качестве оценок для соответствующих теоретических моментов распределения случайной величины Х зависящих от неизвестных параметров.
Пусть непрерывная СВ Х и р(х,ϴ1,ϴ2,…,ϴm)-плотность распределения, ϴ1,ϴ2,…,ϴm – независимые параметры плотности.
Определим с помощью этой плотности m каких-либо теоретических моментов случайной величины Х. Например первые m начальных моментов. Запишем для них формулу:
=
По выборке найдем значение соответствующих статистических моментов:
Приравнивая теорет.моменты и получим:
= k=1,…,m
Решение этой системы будут оценками этих параметров