- •1.Основные понятия теории вероятностей. Классическое, статистическое и геометрическое определения вероятности. Основные понятия тв.
- •Статистическое определение вероятности
- •Геометрическое определение вероятности
- •2. Алгебраические операции над событиями. Отношение м/д событиями. Аксиоматическое определение вероятности события. Отношение м/д событиями
- •Аксиоматическое определение вероятностей события
- •3.Основные свойства вероятностей. Правило сложения вероятностей. Условные вероятности. Теорема умножения вероятностей. Независимые события.
- •4.Формула полной вероятности. Формула Байеса.
- •5.Повторение испытаний. Формула Бернулли.
- •6.Локальная и интегральная теоремы Лапласа.
- •7. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях.
- •8. Наивероятнейшее число появлений события при повторных испытаниях по схеме Бернулли.
- •9. Случайные величины. Закон распределения вероятностей. Биноминальное распределение. Геометрическое распределение.
- •10. Распределение Пуассона.
- •11. Функция распределения св и ее свойства.
- •12. Непрерывные св. Равномерный закон распределения.
- •13 Показательный закон распределения. Нормальный закон распределения.
- •14 Многомерные случайные величины. Ф-ция распределения многомерной случайной величины, её свойства.
- •15 Двумерные непрерывные св. Плотность распределения вероятностей двумерной св, её свойства
- •16 Двумерные св. Условные законы распределения.
- •17 Независимые случайные величины. Критерий независимости.
- •18 Функции случайных величин, их законы распределения.
- •19.Числовые характеритики св.
- •20.Моменты распределения одномерной св.
- •21.Ковариация и коэффициент линейной корреляции 2 св, их свойства.
- •22.Условное мат ожидание
- •23. Двумерное нормальное распределение. Условие независимости некоррелированных св.
- •24.Теорема об условных распределениях компанент двумерной нормально распределенной св.
- •25 Характеристические функции случайных величин, их свойства. Примеры
- •26. Неравенства Маркова и Чебышева.
- •27. Теорема Чебышева. Теорема Маркова.
- •28. Центральная предельная теорема.
- •29. Теорема Ляпунова. Интегральная теорема Лапласса.
- •30. Распределение выборки. Эмпирическая функция распределения.
- •33. Оценка дисперсии случайной величины.
- •34. Неравенство Рао-Крамера. Следствие для несмещенной оценки
- •35. Эффективная оценка мат. Ожидания нормальной распределенной величины.
- •36. Асимптотически эффективные и сверх эффективные оценки. Теорема о состоятельности оценки.
- •37. Условные законы распределения. Условное мат. Ожидание.
- •38.Достаточные статистики. Критерий факторизации
- •39.Теорема Колмагорова – Блекуэлла.
- •41. Метод моментов
- •42. Распределение….
- •43. Распределение Стьюдента.
- •44. Теоремы о случайной величине, имеющей распределение Стьюдента.
- •45. Распределение Фишера. Теорема о случайной величине, имеющей распределение Фишера
- •46 Доверительный интервал для мат. Ожидания нормально распределенной с.В.( -неизвестно)
- •47 Доверительный интервал для мат. Ожидания нормально распределенной с.В.( -известно)
- •48 Доверительный интервал для дисперсии нормально распределеннной с.В.
- •55 Проверка гипотезы о равенстве двух дисперсий нормально распределенный с.В.
42. Распределение….
43. Распределение Стьюдента.
Пусть Х1,Х2,…,Хn нормально распределенные случайные величины, m=0, σ=1.
Тогда СВ – соотношение Стьюдента. А ее распределение – распределение Стьюдента с ν=n степенями свободы.
Замечание. СВ Т часто записывают где . График плотности:
Внешне напоминает график плотности нормального стандартного распределения. При больших ν график центрирован нормальной кривой (т.е. m=0, σ=1). Составлена таблица . Построим график: S1+S2=α (α-заданный ) уровень вероятности, - квантили распределения Стьюдента.
44. Теоремы о случайной величине, имеющей распределение Стьюдента.
Теорема 1. Пусть Х1,Х2,…,Хn независимые СВ распределенные нормально с одинаковымм мат.ожиданиями m и одинаковыми диспериями , тогда имеет распределение Стьюдента с ν=n-1 степенями свободы.
Доказательство. , - нормально распределенная случайная величина с параметрами 0 и 1. Из того, что все Хi – нормально распределены =>, что - нормально распределенная.
. СВ имеет 𝜒2 – распределение с ν=n-1 степенями свободы.
распределена по Стьюденту с ν=n-1 степенью свободы. Теорема доказана.
Теорема 2. Пусть и – средние арифметические и дисперсии в выборках, состоящих из n1 и n2 соответственно независимых наблюдений. Выборки отобраны из нормальных генеральных совокупностей с одинаковыми средне квадратич. отклонениями. Тогда при взаимной независимости обеих выборок, случайная величина Т:
распределена по закону Стьюдента с ν= степенями свободы.
Доказательство. (см дальше)
ν=n. Рассмотрим случайную величину ,
, ,
- имеет - распределение с ν=n1-1 степенью св.
- имеет - распределение с ν=n2-1 степенью св.
- имеет - распределение с ν=n1+n2-2 степенью св.
Составим СВ , Т – распределена по Стьюденту со степенью свободы ν=n1+n2-2.
(из теоремы). Теорема доказана.
45. Распределение Фишера. Теорема о случайной величине, имеющей распределение Фишера
Опр. Пусть случайная величина U2 и V2 имеют 𝜒2 распределение с ν1 и ν2 степенями свободы, тогда СВ - имеет распределение Фишера с ν1 и ν2 степенями свободы. Плотность распределения F имеет вид:
Функция распределения случайной величины F называется F-распределением с ν1 и ν2 степенями свободы.
Составлена таблица значений , для которых:
Теорема. Пусть - исправленные статистические дисперсии определяемые в выборках объемов n1 и n2 взятых из нормальных генеральных совокупностей с одинаковыми средне квадратичными отклонениями σ. Тогда СВ имеет распределение Фишера с ν1=n1-1 и ν2=n2-1 степенями свободы.
Доказательство.
В силу теоремы о случайной величине имеющей распределение 𝜒2 и замыкания имеем:
Тогда имеет F-распределение с степенями свободы, и степенями свободы. Теорема доказана.
46 Доверительный интервал для мат. Ожидания нормально распределенной с.В.( -неизвестно)
Опр.Доверительным интервалом для параметра наз-ся интервал (обозн. , ),содержащий (накрывающий) истинное значение неизвестного параметра с заданной вероятностью p=1-
Опр: Число 1- наз-ся доверительной вероятностью.
Постановка задачи: Пусть наблюдается нормальное распределение С.В. Х.произведена выборка обьема n.Требуется найти доверительный интервал с заданной доверительной вероятностью 1- для мат. ожидания m С.В. Х
Для этого найдем такое >0 ,что P( )= 1- (**)
Ищем ,чтоб вып-ось это равенство
P( )= 1- (**)
1)Пусть неизвестна,т.е. .В силу Теоремы2 из пункта распределение Стьюдента С.В.
,где -выбор среднего квадратичного отклонения имеет распределение Стьюдента с степенями свободы
Т.к. = следовательно =
-распределение по Стьюденту с степенями свободы
<
Ищем чтобы: P( )= 1-
P( )= 1-
P( )=
По таблице находим такое значение что P( )= ,Тогда следовательно
Тогда искомый доверительный интервал будет иметь вид
( )