- •1. Определение функции. Область определения и множество значений. Способы задания функции.
- •2. Определение последовательности, подпоследовательности и предельной точки последовательности. Ограниченные и монотонные, сходящиеся и расходящиеся последовательности.
- •3. Функция действительного переменного. Композиция функций. Понятие об элементарной функции.
- •4. Определение окрестности и предельной точки множества. Теорема о единственности предела функции.
- •5. Определение предела функции по Коши и по Гейне
- •7. Предел последовательности. Понятие о фундаментальной последовательности. Критерий сходимости Коши-Больцано(без вывода)
- •8. Теорема Больцано-Вейерштрасса
- •9. Теорема о пределе монотонной последовательности. Число е
- •10. Теорема о пределе суммы двух функций
- •11. Теорема о пределе произведения двух функций
- •12. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Основные свойства.
- •13. Эквивалентные функции. Теорема о замене эквивалентной функции под знаком предела
- •14. Непрерывность и разрывы функции в точке. Классификация разрывов
- •15. Свойства непрерывных функций в точке
- •16. Теорема об ограниченности непрерывной функции на замкнутом отрезке
- •17. Теорема о наибольшем и наименьшем значении непрерывной функции на замкнутом отрезке
- •18. Производная функции. Геометрический и механический смысл производной
- •19. Дифференциал функции. Теорема о дифференцируемости функции
- •20. Линейные свойства производной
- •22. Производная частного двух функций
- •23. Производная сложной функции. Инвариантность формы дифференциала
- •30. Теорема Лагранжа(теорема о конечных приращениях)
- •31. Теорема Коши(отношение приращения двух функций)
- •32. Правило Лопиталя(вычисление пределов)
- •33. Производные и дифференциалы высших порядков. Нарушение инвариантности формы дифференциала.
11. Теорема о пределе произведения двух функций
Пусть
а –предельная точка множества
c=const
Предел произведения функций равен произведению пределов.
Вывод:
Пусть
и существуют конечные пределы .
Выбираем произвольно малые числа . Положим для определенности . Тогда найдется такая -окрестность точки а, что как только
Для всех
Выберем таким малым, что и . Тогда используем свойство неравенств, получаем систему неравенств:
Нетрудно подобрать настолько малым, что для выбранного :
.
Т.к. мы выбрали произвольно, то согласно определению предела функции по Коши, мы доказали следующую теорему:
12. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Основные свойства.
Если , то f(x) – бесконечно малая функция
Если , то g(x) – бесконечно большая функция
Прим.:
f (x)=lnx
g(x)=1/x
g(x) – бесконечно большая функция при
НО:
g(x) – бесконечно малая функция при
Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями.
Пусть . Тогда . Т.о. f(x) – бесконечно малая при -- бесконечно большая при .
Свойства бесконечно малых функций:
1. Сумма любого конечного числа с бесконечно малым( ) есть бесконечно малое при .
2. Произведение бесконечно малой функции( ) и ограниченной в окрестности точки х=а функции есть бесконечно малая(при ).
Вывод:
Свойство 1. достаточно доказать для суммы 2-х функций.
Пусть . Тогда
f(x) – бесконечно малая при . Очевидно это справедливо для любого конечного числа.
Пусть
, h(x) – ограниченная функция в окрестности точки х=а. Найдется такое М>0, что в окрестности точки а. Тогда .
f(x) – бесконечно малая при .
13. Эквивалентные функции. Теорема о замене эквивалентной функции под знаком предела
Функции f(x) и g(x) называются эквивалентными при и обозначают , если .
Теорема о замене эквивалентной функции под знаком предела.
Пусть при
Тогда
Согласно этой теореме функцию f(x) можно заменить на эквивалентную функцию g(x), если:
f(x) – является множителем в числителе или знаменателе под знаком предела.
Вывод:
Пусть при
Тогда
Рассмотрим замену множителя в числителе под знаком предела.
.
Если f(x) – множитель в знаменателе, то достаточно применить следующую эквивалентность:
при
Смысл теоремы заключается в том, что более сложную функцию f(x) можно заменить по эквивалентности на более простую функцию g(x).
14. Непрерывность и разрывы функции в точке. Классификация разрывов
Если , то f(x) – непрерывная в точке а. Говорят, что f(x) – непрерывна на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества. Для исследования непрерывности вводят понятие одностороннего предела.
-- односторонний предел справа
-- односторонний предел слева.
-- скачок функции в точке а.
Если ω – конечное число, то х=а – точка конечного разрыва.