19. Дифференциал функции. Теорема о дифференцируемости функции

Дифференциал:

y=f(a)

y`=f`(a)

Δf(a)=BM=BC+CM

Это линейная часть приращения. Линейная часть приращения получается тогда, когда закон изменения функции по графику, т.е. закон изменения функции по дуге АМ заменяется на закон изменения функции по касательной.

СМ=ВМ-ВС – нелинейная часть приращения

-- нелинейная часть приращения

-- дифференциал функции f(x) в точке а. Линейная часть приращения.

– нелинейная часть приращения

dx= x – для независимой переменной.

Определение дифференцируемости:

Если существует производная f(x), то функция называется дифференцируемой в точке х. Функция дифференцируема на множестве, если она дифференцируема на каждой точке этого множества.

Теорема о дифференцируемости.

Тогда

-- это значит, что нелинейная часть приращения является бесконечно малой, более высокого порядка, чем при .

Вывод:

Пусть существует в точке х:

20. Линейные свойства производной

Пусть с=const, u=u(x), v=v(x) – дифференцируемые функции. Тогда

Вывод:

22. Производная частного двух функций

Вывод:

23. Производная сложной функции. Инвариантность формы дифференциала

Теорема о дифференцировании сложной функции:

Пусть и -- дифференцируемые функции

и . Тогда сама теорема распадается на 2 части:

Вывод:

Формула 1. – правило производной сложной функции.

2. – теорема об инвариантности формы 1-го дифференциала. Инвариантность – неизменность. Форма дифференциала сохраняется независимо от того, будет z зависимой переменной или независимой.

Вывод:

в точках х и z. Т.к. функция дифференцируема в этих точках, то можно записать:

Введем обозначение

Тем самым доказана лемма о дифференцировании:

Если f(z) – дифференцируема в точке z, то

Даем приращение независимой переменной х.

При получаем .

Найдем производную:

1-я формула доказана, т.е. доказана теорема о производной сложной функции.

2 часть.

Докажем теорему об инвариантности формы дифференциала:

Форма дифференциала не зависит от типа переменной.

24. Производная параметрической функции

Пусть -- параметрическая функция

в О(t)

Тогда .

Используя производную для обратной функции, нетрудно доказать, что:

25. Производная степенной, показательной и логарифмической функции

Производная степенной функции:

при

Производная показательной функции:

при

Логарифмическая функция:

26. Производная тригонометрических функций

Обратные тригонометрические функции:

Переходим к обратной функции, дифференцируем:

27. Производная обратных тригонометрических функций

Обратные тригонометрические функции:

Переходим к обратной функции, дифференцируем:

28. Касательная и нормаль к графику функции

A(x₀; y₀)

t – касательная

n – нормаль

k=tgφ – значение производной в точке х₀, тангенс угла наклона касательной.

-- уравнение касательной

-- уравнение нормали

29. Теорема Ролля(теорема о корнях производной)

Пусть f(x) – дифференцируемая функция внутри отрезка (а; b) и непрерывна на [a; b].

Тогда

с – корень производной

Вывод:

Пусть функция непрерывна на [a; b], дифференцируема внутри отрезка (а; b), . тогда функция достигает своего максимального и минимального значения на этом отрезке.

f(c)=M – максимальное значение

f(d)=m – минимальное значение

Если m=M, то функция постоянна и теорема очевидна.

Пусть , тогда либо с, либо d принадлежат (а; b). Пусть, например, , тогда:

при 0

при 0