Сходящаяся последовательность

Говорят, что последовательность   сходится, если существует число   такое, что для любого   существует такое  , что для любого  , выполняется неравенство:  .

Число   называют пределом последовательности  . При этом записывают   или  .

Пример.  .

Теорема о сходимости монотонной и ограниченной последовательностей.

Теорема (Вейерштрасс). Любая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

Доказательство. Докажем теорему для монотонной возрастающей последовательности  . Докажем, что точная верхняя граница для последовательности   и будет ее пределом.

Действительно, по определению точной верхней границы

Кроме того, какое бы ни взять число  , найдется такой номер  , что

Так как последовательность монотонна, то при   будет  , а значит, и   и выполняются неравенства

откуда и следует, что  .

6. Вопрос

Теорема о единственности предела числовой последовательности.

Докажем следующую теорему.

Теорема 1. Любая сходящаяся последовательность имеет единственный предел.

Доказательство. Предположим, что это не так, т. е. xn---a и xn---b одновременно. Выберем числа e1 и e2 таким образом, чтобы множества, задаваемые неравенствами  , не пересекались. По определению предела последовательности, начиная с некоторых значений N1 (N2), все члены последовательности принадлежат первому (второму) из этих множеств. Выберем в качестве N3=max(N1, N2). Тогда, начиная с номера N3, все члены последовательности принадлежат обоим этим множествам, что невозможно.

7. Вопрос

Определение бесконечно малой и бесконечно большой последовательностей. Связь бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей.

Бесконечно большая последовательность

Определение. Последовательность {x_n} называется бесконечно большой, если для любого положительного числа A можно указать номер N такой, что при   все элементы x_n этой последовательности удовлетворяют неравенству   .

Любая бесконечно большая последовательность является неограниченной. Но не каждая неограниченная последовательность является бесконечно большой. Например, неограниченная последовательность 1, 2, 1, 3, ... 1, n, ... не является бесконечно большой, так как при A > 1 неравенство   не выполняется для x_n с нечетными номерами.

Бесконечно малая последовательность

Определение. Последовательность {x_n} называется бесконечные малой, если для любого положительного числа ε можно указать номер N такой, что при   все элементыx_n этой последовательности удовлетворяют неравенству   .

Любая бесконечно малая последовательность является ограниченной 

Бесконечно малая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.

Бесконечно большая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.

Лемма 1. Если a_n — бесконечно малая последовательность, то 1/ a_n —бесконечно большая последовательность.

Пример:  Пусть a_n = 1/n, которая является бесконечно малой, тогда последовательность b _n = 1/a _n = n будет бесконечно большой.

Для того чтобы последовательность {x_n} имела предел, равный A необходимо и достаточно, чтобы ее члены имели вид

x_n = A+ a_n,

где

lim _{n ® Ґ} a_n = 0.

 (свойства бесконечно малых последовательностей)

1. Сумма и разность двух бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

2. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность является бесконечно малой последовательностью.

Следствие 1. Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими последовательностями.

Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности тесно связаны между собой.

Теорема 3.3.1 Последовательность {  _n },  _n   0 является бесконечно малой последовательностью тогда и  ^{только тогда, когда последовательность   является бесконечно большой.}

Доказательство следует из того факта, что неравенство |  _n |     равносильно неравенству     ^{E =   и определений бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей.}

8. Вопрос

Определение функции и способы ее задания. Свойства функций: монотонность, ограниченность, четность. Определение обратной и сложной функций.

Функцией называется закон, по которому числу х из заданного множества Х, поставлено в соответствие только одно число у, пишут  , при этом x называют аргументом функции, y называют значением функции.

Способы задания функции:

1. Аналитический способ. Аналитический способ - это наиболее часто встречающийся способ задания функции. Заключается он в том, что функция задается формулой, устанавливающей, какие операции нужно произвести над х, чтобы найти у. Например  . Рассмотрим первый пример -  . Здесь значению x = 1 соответствует  , значению x = 3 соответствует   и т. д. Функция может быть задана на разных частях множества X разными функциями. Например: Во всех ранее приведенных примерах аналитического способа задания, функция была задана явно. То есть, справа стояла переменная y, а справа формула от переменной х. Однако, при аналитическом способе задания, функция может быть задана и неявно. Например  . Здесь, если мы задаем переменной x значение, то, чтобы найти значение переменной у (значение функции), мы должны решить уравнение. Например, для первой заданной функции при х = 3, будем решать уравнение: . То есть, значение функции при х = 3 равно -4/3. При аналитическом способе задания, функция может быть задана параметрически - это, когда х и у выражены через некоторый параметр t. Например, Здесь при t = 2, x = 2, y = 4. То есть, значение функции при х = 2 равно 4. 2. Графический способ. При графическом способе вводится прямоугольная система координат и в этой системе координат изображается множество точек с координатами (x,y). При этом  . Пример: 3. Словесный способ. Функция задается с помощью словесной формулировки. Классический пример – функция Дирихле. «Функция равна 1, если х – рациональное число; функция равна 0, если х – иррациональное число». 4. Табличный способ. Табличный способ наиболее удобен, когда множество Х конечно. При этом способе составляется таблица, в которой каждому элементу из множества Х, ставится в соответствие число Y. Пример: Табличный способ задания функции очень удобен при обработке результатов исследований. Например, при выявлении зависимости между уровнем загрязнения окружающей среды и количеству людей, заболевших раком.

Свойства функции:

1) Область определения функции и область значений функции.

Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция y = f(x) определена. Область значений функции - это множество всех действительных значений y, которые принимает функция.

В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.

2) Нули функции.

Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.

3) Промежутки знакопостоянства функции.

Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.

4) Монотонность функции.

Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

5) Четность (нечетность) функции.

Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

6) Ограниченная и неограниченная функции.

Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция -неограниченная.

7) Периодичность функции.

Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими. (Тригонометрические формулы).

Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией.

Определение

Функция   является обратной к функции  , если выполнены следующие тождества:

• f(g(y)) = y для всех 

• g(f(x)) = x для всех