Свойства:
1) Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых в некоторой точке функций есть функция, бесконечно малая в той же точке.
2) Произведение любого конечного числа бесконечно малых в некоторой точке функций есть функция, бесконечно малая в той же точке.
3) Произведение бесконечно малой в некоторой точке функции на функцию ограниченную есть функция, бесконечно малая в той же точке.
Бесконечно малые в некоторой точке х0 функции (x) и (x) называются бесконечно малыми одного порядка, |
|
Вопрос
Теорема о связи функции и ее предела.
Теорема 1. Если функция ƒ(х) имеем предел, равный А, то ее можно представить как сумму числа А и бесконечно малой функции α(х), т. е. если limƒ(х)=А, при Х→Хо то ƒ(х)=А+а(х).
▼ Пусть
Следовательно, т. е. |ƒ(х)-А-0|<ε. Это означает, что функция ƒ(х)-А имеет предел, равный нулю, т. е. является б.м.ф., которую обозначим через α(х): ƒ(х)-А=α(х). Отсюда ƒ(х)=А+α(х).▲
Теорема 2. (обратная). Если функцию ƒ(х) можно представить в виде суммы числа А и бесконечно малой функции α(х), то число А является пределом функции ƒ(х), т. е. если ƒ(х)=А+α(х), то lim ƒ(х)=А при Х→Хо
Пример:
Доказать, что
Решение: Функцию 5+х можно представить в виде суммы числа 7 и б.м.ф. х-2 (при х→2), т. е. выполнено равенство 5+х=7+(х-2). Следовательно, по теореме 17.6 получаем
Теорема о связи предела и бесконечно малой величины.
Если , то , где – бесконечно малая величина. Или .
Доказательство:
Допустим, что , тогда .
, значит , – бесконечно малая величина.
Пример:
f(x) = x2 + 1
Вопрос
Определение бесконечно большой функции. Связь бесконечно малых и бесконечно больших функций.
Определение. Функция называется бесконечно большой при , если
Лемма. Если при , то при , если при , то при и .
БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШАЯ ФУНКЦИЯ - функция переменного х, к-рая в данном процессе изменения х становится и остается по абсолютной величине больше любого наперед заданного числа. Точнее, функция f(x), определенная в окрестности точки х0, наз. бесконечно большой функцией при х, стремящемся к x0, если для любого числа М > 0 найдется такое число δ = δ (М) > 0, что для всех х ≠ х0 и таких, что |х - х0 | < δ, выполняется неравенство |f(x)| > M. Этот факт записывается так:
Аналогичным образом определяются
Напр.,
означает, что для любого М > 0 найдется такое δ = δ (M) > 0, что для всех z < - δ выполняется неравенство f(x) > M. Изучение Б. б. ф. может быть сведено к изучению бесконечно малых функций, т. к. если f(x) есть Б. б. ф., то функция ψ (х) = 1/f(x) является бесконечно малой.
Связь:
Между б.м. и б.б. функциями существует тесная связь.
Т: Функция, обратная к бесконечно малой, является б.б. и наоборот: — б.м., — б.б.,
13.Вопрос
Свойства пределов функций, связанные с арифметическими операциями над функциями.
Вопрос
Теорема о предельном переходе в неравенства.
Теорема 1. Если и, начиная с некоторого номера, выполняется , то .
Доказательство. Пусть с некоторого номера выполняется . Предположим, что . Так как , то для существует такой номер N, что для всех выполняется или , откуда получаем , что противоречит условию. Случай рассматривается аналогично.
Следствие 1. Пусть и сходятся и, начиная с некоторого номера, выполняется , тогда .
Следствие 2. Пусть сходится и при любом , тогда и .
Доказательство. Так как , то и .
Теорема 2. Пусть и с некоторого номера n выполняется условие . Тогда последовательность сходится и .
Доказательство. Пусть – номер, с которого выполняется , тогда с этого номера выполняется , или . Так как и , то для любого числа существуют такие номера и , что для всех , а для всех , а для всех номеров , где выполняется , что и означает .