6,7,8,9 Назначение средних величин, их виды.

Задача средних величин – охарактеризовать все единицы статистической совокупности одним значением признака.

Средними величинами характеризуются качественные показатели предпринимательской деятельности: издержки обращения, прибыль, рентабельность и др.

Средняя величина – это обобщающая характеристика единиц совокупности по какому–либо варьирующему признаку.

Средние величины позволяют сравнивать уровни одного и того же признака в различных совокупностях и находить причины этих расхождений.

Средние величины являются обобщающими показателями, в которых находят выражение действие общих условий, закономерность изучаемого явления.

В статистической обработке материала возникают различные задачи, которые необходимо решать, и поэтому в статистической практике используются различные средние величины. Математическая статистика использует различные средние, такие как: средняя арифметическая; средняя геометрическая; средняя гармоническая; средняя хронологическая.

Один из наиболее распространенных видов средней – средняя арифметическая, которая исчисляется тогда, когда объем ос–редняемого признака образуется как сумма его значений у отдельных единиц изучаемой статистической совокупности.

Для вычисления средней арифметической величины сумму всех уровней признака делят на их число.

Если некоторые варианты встречаются несколько раз, то сумму уровней признака можно получить умножением каждого уровня на соответствующее число единиц совокупности с последующим сложением полученных произведений, исчисленная таким образом средняя арифметическая называется средней арифметической взвешенной.

Формула средней арифметической взвешенной выглядит следующим образом:

гдех_i – варианты,

f_i – частоты или веса.

Пример прострой средней арифметической величины.

Данные о заработной плате рабочих – сдельщиков представлены в таблице 4.

Таблица 4

Месячная з/п (варианта – ), тыс. руб.	Число рабочих,	хini
= 1,1	= 2	2,2
= 1,3	= 6	7,8
= 16,	= 16	25,6
= 1,9	= 12	22,8
= 2,2	= 14	30,8
ИТОГО	50	89,2

По данным дискретного ряда распределения видно, что одни и те же значения признака (варианты) повторяются несколько раз. Так, варианта х₁ встречается в совокупности 2 раза, варианта х₃ - 16 раз и т. д.

Число одинаковых значений признака в рядах распределения называется частотой, или весом, и обозначается символом n.

Вычислим среднюю заработную плату одного рабочего в тыс. руб.:

.

Средняя зависит не только от значений признака, но и от их частот, от состава совокупности, от ее структуры.

Средняя гармоническая. Для того чтобы определить среднюю арифметическую, необходимо иметь ряд вариантов и частот, т. е. значения хи f.

Формула для расчета средней гармонической простой имеет вид

.

Пример.

Издержки производства и себестоимость единицы продукции по трем цехам предприятия характеризуется данными таблицы 6.

Таблица 6

Номер завода	Издержки производства, тыс. руб.	Себестоимость единицы продукции, руб.
1	200	2 000
2	460	2 300
3	110	2 200

Определим среднюю себестоимость изделия. Главным условием выбора формы средней величины является экономическое содержание показателя и исходные данные. В данном случае

.

Получаем результат

тыс. руб.

Соответственно, средняя гармоническая тождественна средней арифметической.

Средняя геометрическая

Если имеется n коэффициентов роста, то формула среднего коэффициента:

Это формула средней геометрической.

Средняя геометрическая равна корню степени n из произведения коэффициентов роста, характеризующих отношение величины каждого последующего периода к величине предыдущего.

Если осреднению подлежат величины, выраженные в виде квадратных функций, применяется средняя квадратическая. Например, с помощью средней квадратической можно определить диаметры труб, колес и т. д.

Средняя хронологическая величина применяется для определения среднего уровня в моментных рядах динамики. Существует два вида рядов динамики:

моментные;

интервальные.

Интервальные – это такие ряды в которых данные приводятся за определенный период времени (месяц, год). Средний уровень ряда в интервальном ряду определяется по средней арифметической простой.

Моментные – это такие ряды, где данные представлены на определенный момент времени (на определенную дату). Если интервалы времени между датами равны, то расчет средней ведут по формуле средней хронологической простой:

 (12)

Если интервалы между датами в моментных рядах не одинаковые, то расчет ведется в два этапа: по средней хронологической взвешенной:

определяется средняя внутри каждого интервала времени по среднеарифметической простой;

определяется общая средняя по среднеарифметической взвешенной, где частотами являются интервалы между датами.