4. Метод аналитического выравнивания.

При этом методе уровни ряда динамики выражаются в виде функции времени:

При теоретическом анализе выявляется характер развития явления во времени и на этой основе выбирается то или иное математическое выражение типа изменения явления, т.е. определяется адекватная математическая функция.

Подбор адекватной функции осуществляется методом наименьших квадратов, т.е. минимальностью отклонений суммы квадратов между теоретическими и эмпирическими уровнями:

Это является критерием оценки соответствия теоретических уровней с эмпирическими уровнями ряда динамики.

Одним из условий обоснованного применения метода аналитического выравнивания является знание типов развития социально-экономических явлений во времени:

1) равномерное развитие. Для этого типа динамики соответствуют постоянные абсолютные приросты:

Основная тенденция развития в рядах динамики со стабильными абсолютными приростами отображается уравнением прямолинейной функции:

где и - параметры уравнения;

t - обозначения времени.

Параметр является коэффициентом регрессии, определяющим направление развития. Если то уровни ряда динамики равномерно возрастают, а при происходит их равномерное снижение;

2. равноускоренное (равнозамедленное) развитие. Данному типу свойственно постоянное во времени увеличение или замедление развития. Уровни таких рядов динамики изменяются с постоянными темпами прироста:

Основная тенденция развития в рядах динамики со стабильными темпами прироста отображается функцией параболы второго порядка:

Параметр характеризует постоянное изменение интенсивности развития (в единицу времени). При происходит ускорение развития, а при идет процесс замедления роста. Параметр может быть как со знаком плюс, так и со знаком минус.

3) развитие с переменным ускорением (замедлением). Для данного типа динамики основная тенденция развития выражается функцией параболы третьего порядка:

Параметр отображает изменение ускорения. При ускорение возрастает, а при ускорение замедляется.

4) развитие по экспоненте. Данный тип динамики характеризуют стабильные темпы роста:

Основная тенденция в рядах динамики с постоянными темпами роста отображается показательной функцией:

где - темп роста (снижения) изучаемого явления в единицу времени, т.е.интенсивность развития.

5) развитие с замедлением роста в конце периода. У этого типа динамики показание цепного абсолютного прироста сокращается в конечных уровнях ряда динамики:

Основная тенденция развития в таких рядах динамики выражается полулогарифмической функцией:

При аналитическом выравнивании в рядах динамики можно применить и другие математические функции. Так, при изучении основной тенденции неудовлетворенного и реализованного спроса населения применяются:

степенная функция -

функция гиперболы -

Логистическая форма тренда имеет вид кривой, похожей на латинскую букву sположенной на бок. Ввиду этого ее также называют эсообразной кривой. Она имеет два перегиба, для которых характерны ускоряющийся рост к равномерному развитию (вогнутость) и от равномерного роста посреди периода к замедляющемуся процессу (выпуклость). Логистическая форма тренда выражается формулой:

,

где е - основание натуральных алгоритмов;

и - минимальное и максимальное из возможных значений уровня;

а и в - параметры тренда.

Данная функция может быть использована для отображения развития явления в течение длительного периода времени, проходящего все фазы своего развития. Например, процесса насыщения демографической группы потребителей определенным видом товара, сначала медленный, но все более ускоряющийся рост доли семей, имеющих этот товар, затем рост равномерный, потом он замедляется при приближении к 100 %.

При условии, если или 100 %, то уравнение логистической формы тренда принимает вид:

.

Рассмотрим как производится выравнивание ряда динамики по прямой линии:

где - значения уровней выравненного ряда, которое нужно вычислить;

и - параметры прямой;

t - показатели времени (дни, месяцы, годы и т.д.

Для вычисления параметров функции на основе требований метода наименьших квадратов составляется система нормальных уравнений:

Для решения системы уравнений обычно применяется способ определителей, позволяющий получать более точные результаты за счет сведения к минимуму ошибки из-за округлений в расчетах параметров:

По вычисленным параметрам производится синтезирование трендовой модели функции.

На основе модели определяются теоретические уровни тренда для каждого года анализируемого ряда динамики. Правильность расчетов проверяется по равенству:

При изучении социально-экономических явлений приходится иметь дело со сложным механизмом взаимодействия факторов, формирующих тренд. Поэтому не всегда можно получить надежные выводы о типе и виде математической функции. В лучшем случае может быть выдвинута рабочая гипотеза о возможных типах развития. Но выбор на этой основе конкретной математической функции очень затруднителен, особенно если развитие идет по криволинейным функциям.

Для подтверждения гипотезы о возможном типе развития можно использовать графический метод. Наглядное изображение позволяет получать образное представление о размещении на поле графика эмпирических уровней. Однако дать обобщенную статистическую характеристику тренда графический метод не может.

Одним из используемых в практике изучения тренда показателей адекватности математической функции является стандартизованная ошибка аппроксимации

Применение данной формулы основано на том, что за наиболее адекватную принимается функция, у которой стандартизованная ошибка аппроксимации минимальная.

Для определения параметров математических функций при анализе тренда в рядах динамики используется способ отсчета времени от условного начала. Он основан на обозначении в ряду динамики показаний времени таким образом, чтобы

При этом в ряду динамики с нечетным числом уровней порядковый номер уровня, находящегося в середине ряда, обозначают через нулевое значение и принимают за условное начало отсчета времени с интервалом (+1) всех последующих уровней и (-1) всех предыдущих уровней.

Например, при n = 5 обозначения времени будут следующими: - 2, - 1, 0, + 1, + 2. При четном числе уровней, например, n = 6 порядковые номера верхней половины ряда (от середины) обозначаются числами: - 1, - 3, - 5, а нижней половины ряда обозначаются: + 1, + 3, +5.

При использовании способа условного обозначения времени, когда параметры математических функций определяются по формулам:

А) для прямолинейной функции

б) для параболы второго порядка

в) для параболы 3-го порядка

параметры рассчитываются по формулам:

.