- •4. Переходные процессы в цепях с сосредоточенными параметрами
- •4.1. Основные понятия и законы
- •4.2. Переходные процессы в -цепи
- •4.3. Переходные процессы в -цепи
- •4.4. Переходные процессы в последовательном контуре
- •4.4.1. Апериодический переходной процесс
- •4.4.2. Периодический переходной процесс
- •4.4.3. Переходной процесс в -цепи при включении на постоянное напряжение
- •4.5. Расчет переходных процессов классическим методом
- •Примечание:
- •4.6. Переходная и импульсная характеристики цепи
- •4.7. Использование интеграла Дюамеля при анализе реакции цепи на произвольно имеющееся входное воздействие
- •4.8. Расчет переходных процессов операторным методом.
- •Тогда в операторной форме
- •5. Четырехполюсники и многополюсники
- •5.1. Введение. Первичные параметры чп
- •5.2. Экспериментальное определение коэффициентов и входного сопротивления
- •5.3. Эквивалентные схемы четырехполюсников
- •5.4. Соединения четырехполюсников
- •5.5. Передаточные функции и рабочие параметры четырехполюсника
- •5.6. Зависимые источники напряжения и тока
- •5.7. Вторичные параметры пассивных четырехполюсников
- •5.8. Активные автономные чп
- •5.9. Операционный усилитель (оу)
- •6. Цепи с распределенными параметрами
- •6.1. Первичные параметры длинной линии
- •6.2 Телеграфные и волновые уравнения дл. Вторичные параметры дл.
- •6.3. Бегущие, стоячие и смешанные волны в дл
- •6.3.1. Бегущие волны
- •6.3.2. Стоячие волны
- •6.3.3. Смешанные волны
- •6.4. Переходные волновые процессы
- •6.5. Волновые параметры дл
- •6.6. Сбалансированная дл
- •6.7. Резонансные чп. Примеры использования дл
- •6.8. Согласующие чп
4.4.2. Периодический переходной процесс
Он имеет место при ,когда корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные ; . Тогда решение дифференциального уравнения . Соответственно .
Подставив начальные условия, получим:
Откуда
; .
Обозначив , и учитывая, что
; ,
получим
Заметим, что также как и начальная фаза зависит только от параметров контура. Скорость затухания колебаний характеризуют величиной , которая называется декрементом колебания. Иногда используют понятие логарифмического декремента колебания: .
При увеличении сопротивления увеличивается и период колебания, и когда достигает период равен бесконечности, то есть наступает апериодический процесс. При : , ; , то есть частота максимальна и равна резонансной частоте
последовательного контура.
|
Рис. .4.10. |
4.4.3. Переходной процесс в -цепи при включении на постоянное напряжение
|
Рис. 4.11. |
С энергетической точки зрения при включении -цепи на постоянное напряжение половина энергии, получаемая от источника питания за время периодического переходного процесса переходит в тепло, а другая половина запасается в электрическом поле конденсатора.
Аналогично может быть рассмотрен апериодический и колебательный процесс при включении контура на синусоидальное напряжение:
4.5. Расчет переходных процессов классическим методом
Классический метод расчета основан на составлении дифференциальных уравнений и их интегрировании. Уравнение составляются относительно мгновенных значений напряжения и тока и называются уравнениями состояния.
Полное решение уравнений состояния ищется как сумма установившихся и свободных составляющих напряжений и токов. Для этого находят соответственно частное решение системы неоднородных уравнений и общее решение однородных, приравнивая нулю правые части.
Рассмотрим порядок расчета на примере. Будем искать в схеме по рис.4 как
.
По первому и второму законам Кирхгофа составим систему уравнений для цепи после коммутации.
где . Или
Для нахождения начальных условий ( ), рассчитаем цепь до коммутации.
Рассчитаем установившийся режим после коммутации.
Для расчета свободной составляющей тока воспользуемся алгебраизацией однородных дифференциальных уравнений и приравняем к нулю главный определитель системы.
где соответствует установившемуся режиму, который мы уже нашли.
Уравнение, полученное в результате приравнивания нулю главного определителя, называется характеристическим уравнением. Как уже было показано выше корни характеристического уравнения определяют характер переходного процесса. Это характеристическое уравнение может быть получено и при составлении системы по методу контурных токов или узловых потенциалов.
Более того, характеристическое уравнение можно получить и без составления системы дифференциальных уравнений. Для этого достаточно записать и приравнять нулю комплексное входное сопротивление цепи относительно разрыва в любой ветви и заменить оператором . Например, разорвав цепь в цепи конденсатора (точка а), получим входное сопротивление
или
что соответствует уже полученному нами уравнению.
Запишем свободную составляющую с постоянными интегрирования, в зависимости от вида корней: действительные разные , равные
, комплексно-сопряженные .
Записываем общее решение. Пусть, например, корни действительные и разные, тогда
Определим постоянные интегрирования. Для этого запишем и при :
Запишем систему уравнений для момента t=0. Здесь и уже известны. Таким образом, имеем три уравнения с тремя неизвестными. Откуда легко определить .
70. После определения и подставляем их в искомое решение.