Вопрос 50 Вычисление определителей и их свойства.

Определителем матрицы А_1х1 = (а₁₁), назовем число а₁₁.

Если дана матрица

,

то ее определителем второго порядка назовем число, обозначаемое |А| или  и вычисляемое по формуле:

Если же матрица имеет вид

,

то ее определителем порядка 3 назовем число, вычисляемое по формуле:

называемой правилом треугольника.

Графически это правило можно изобразить так:

,

как разность произведений соединенных элементов.

Пример.

Заметим, что

тогда по аналогии определитель квадратных матриц порядка выше третьего можно ввести как число, вычисляемое через определители более низкого порядка.Е

,

сли дана квадратная матрица А_4х4 , то минором М_ij элемента а_ij этой матрицы называется определитель порядка 3, полученный из матрицы А, вычеркиванием i - строки и j - столбца.

Свойства определителей.

1) Если какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из одних нулей, то ее определитель равен нулю.

ЗАМЕЧАНИЕ: Свойство очевидно, если применить разложение определителя по нулевой строке (столбцу).

2) Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число k, то ее определитель умножится на это же число.

3) При транспонировании матрицы ее определитель не изменится

|А^Т| = |А|.

4) При перестановке двух строк (столбцов) матрицы местами ее определитель меняет знак на противоположный.

5) Если квадратная матрица имеет две одинаковые строки (столбца), то ее определитель равен нулю. С одной стороны, если переставить две одинаковые строки (столбца), то ее определитель не изменится, с другой стороны по свойству (4) – изменит знак, тогда  = - , значит  = 0.

6) Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то ее определитель равен нулю. Это свойство следует из свойств (2) и (5).

7) Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна нулю, т.е.

ЗАМЕЧАНИЕ

8) Определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) добавить элементы другой строки (столбца) помноженные на число.

9) Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей т.е.

АВ = АВ

Перечисленные свойства используются для вычисления определителей высоких порядков. Для этого, используя свойства 1-9 , матрица преобразуется так, чтобы в какой-либо строке (столбце) было как можно больше нулей, а затем вычисляется определитель полученной матрицы разложением по этой строке (столбцу).

Пример.

Здесь сначала к элементам 1 и 2 столбцов добавили элементы 3 столбца помноженные на (-4) и (2) соответственно, затем разложили определитель по третьей строке, аналогично поступили с определителем третьего порядка скомбинировав 1 и 2 строки, и 2 и 3 строки, в определителе второго порядка общий множитель второго столбца вынесли и вычислили полученный определитель второго порядка.

Вопрос 51 Теорема о существовании обратной матрицы.

Пусть А_nxn квадратная матрица размера n на n. Обратной к матрице А называется матрица, обозначается А^-1, (А в минус первой степени ), такая что

АА^-1 = А^-1А=Е.

Назовем матрицу А невырожденной, если det A=A 0.

Справедлива следующая теорема – критерий существования обратной матрицы.

Теорема. Для того чтобы матрица А имела обратную матрицу А^-1 необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невырожденной (А 0)

Пример.

Обратная матрица единственна в силу следующей теоремы.

теорема. Если существует обратная матрица, то она единственна.

Доказательство. Пусть существуют две обратные матрицы Х и У, тогда по определению ХА = Е и УА = Е. Если каждое равенство умножить на А^-1 справа, то получим

 имеем, что

,значитединственность доказана

Обратная матрица обладает следующими свойствами:

1. ;

2. (А^-1)^-1=А;

3. 

4)

Докажем свойства 4 и 2.

4) Пусть X = B^-1A^-1. Тогда XА = В^-1А^-1А = В^-1, умножив справа на В имеем XАВ = В^-1В = Е. То есть X(АВ) = Е  В^-1А^-1 = (АВ)^-1 по определению.

2) Пусть X = (А^-1)^-1. Тогда XА^-1=(А^-1)^-1А^-1=(АА^-1)^-1=(Е^-1)^-1=Е. То есть XА^-1 = Е, значит, X = А = (А^-1)^-1.