- •Вопрос 1 Теорема об ограниченности функции, имеющей предел.
- •Вопрос 2 Теорема о переходе к пределу в неравенстве.
- •Вопрос 3 Теорема о пределе промежуточной функции.
- •Вопрос 4 Теорема, устанавливающая связь между функцией, ее пределом и б-м.
- •Вопрос 15 Теорема об ограниченности непрерывной функции.
- •Вопрос 16 Теорема Больцано-Коши (о нуле непрерывной функции)
- •Вопрос 17 Теорема о промежуточном значении непрерывной функции.
- •Вопрос 20 Производные элементарных функций.
- •Вопрос 22 Производные высших порядков, формула Лейбница.
- •Вопрос 24 Теорема Ролля.
- •Вопрос 25 Теорема Кофы.
- •Вопрос 26 Теорема Лагранжа.
- •Вопрос 33 Асимптоты графика. Правило Лопиталя. Интегральное исчисление.
- •Вопрос 37 Интегрирование рациональных дробей.
- •Вопрос 38 Интегрирование иррациональных выражений.
- •Вопрос 39 Интегрирование тригонометрических выражений.
- •Вопрос 40 Понятие интегральной суммы и определенного интеграла. Теоремы об интегрируемой функции.
- •Вопрос 41 Основные свойства определенного интеграла.
- •Вопрос 42 Оценка определенных интегралов.
- •Вопрос 43 Теорема о среднем для определенного интеграла.
- •Вопрос 44 Теорема о производной интеграла с переменным верхним пределом.
- •Вопрос 45 Формула Ньютона-Лейбница.
- •Вопрос 46 Теорема о замене переменной в определенном интеграле.
- •Вопрос 47 Формула интегрирования по частям в определенном интеграле.
- •Вопрос 48 Применение определенного интеграла к вычислению площадей, длин дуг, объемов тел.
- •Вопрос 49
- •Вопрос 50 Вычисление определителей и их свойства.
- •Вопрос 51 Теорема о существовании обратной матрицы.
- •Вопрос 52 Системы линейных уравнений. Решение методом обратной матрицы.
- •Вопрос 53 Теорема Кронеккера-Капелли.
- •Вопрос 54 Метод Гаусса и формулы Крамера.
- •Вопрос 55 Векторы и операции над ними. Их простейшие свойства. Линейная комбинация
- •Вопрос 58
- •59. Векторное произведение двух векторов.
- •Вопрос 60 Смешанное произведение трех векторов
- •Вопрос 61 Уравнение линии на плоскости. Полярная система координат.
- •Вопрос 62 Уравнение поверхности и уравнение линии в пространстве.
- •Уравнение линии в пространстве
- •Вопрос 63 Уравнения прямой на плоскости: общее, каноническое, параметрическое, в отрезках и с угловым коэффициентом.
- •64. Кривые второго порядка.
- •Вопрос 68 Уравнение прямой в пространстве.
- •Вопрос 69 Цилиндрические поверхности. Цилиндрические поверхности
- •Вопрос 70 Поверхности вращения. Поверхности вращения
- •71. Конические поверхности
Вопрос 52 Системы линейных уравнений. Решение методом обратной матрицы.
Пусть Аnxn – квадратная матрица, Хnxk - матрица с неизвестными элементами, Bnxk - матрица с известными элементами, тогда уравнение вида
AnxnXnxk = Bnxk
называется матричным уравнением
Если матрица А невырождена, то для нее существует А-1 такая, что А-1А = Е. Используя это, можно решить матричное уравнение так:
АХ = В А-1АХ = А-1В ЕХ = А-1В, т.е.
X= А-1В
Если же матричное уравнение имеет вид ХkxnАnxn = Вkxn , то схема решения такова:
ХАА-1 = ВА-1 Х = ВА-1
Пример.
Вопрос 53 Теорема Кронеккера-Капелли.
Определение.Минором матрицы А k-го порядка называется любой определитель, составленный из элементов матрицы А, состоящих на пересечении k строк и k столбцов, где k min(m,n).
Пример.
У этой матрицы миноры первого порядка это: М1 = {1, 2, 3, 4, ... 10, 0},
второго порядка – ,
третьего порядка – .
При этом так как k min (3, 5), то k = 3.
Определение.
Рангом матрицы называется число равное наивысшему порядку миноров этой матрицы, отличных от нуля.
Обозначение ранга Rg (A) rang (A) r(A).
Для рассмотренной выше матрицы А3х5 ранг равен 3. Действительно r(A35) = 3, так как существует
Свойства ранга.
Ранг матрицы не изменяется:
При транспонировании;
При перестановке строк или столбцов местами;
При отбрасывании строки или столбца из нулей;
При умножении строки или столбца на число не равное нулю;
При удалении строки или столбца, являющегося линейной комбинацией других строк (столбцов);
При добавлении к строке или столбцу линейной комбинации других строк или столбцов.
Преобразования не изменяющие ранга матрицы называются эквивалентными, и матрицы, получающиеся при таких преобразованиях, называются эквивалентными также.
Обозначения эквивалентных матриц таково А В
Пример.
,
тогда существует , значит r(А)=3.
Теорема. (Кронеккера - Капелли).
Для существования решения системы (1) необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы А равнялся рангу расширенной матрицы А (r(A) = r(A )).
ЗАМЕЧАНИЕ
Если r(A)r(Aр), то система (1) несовместна
Если r(A) = r(Ap), то система (1) совместна, причем решение системы единственно, если r(A) = r(Ap) = n – числу неизвестных, если же r(A) = r(Ap) < n, то система имеет бесконечное множество решений
Алгоритм применения теоремы к решению СЛУ (систем линейных уравнений)
Вычисляем r(A) и r(Ap) и сравниваем их
Если r(A) r(Ap), то решения СЛУ нет
Если r(A) = r(Ap), то проверяем справедливость равенства r(A) = r(Ap) = n
Если равенство выполняется, то для нахождения единственного решения применяют метод Гаусса или правило Крамера.
Если равенство не выполняется (r(A) = r(Ap) < n), то перестановкой строк (столбцов) матрицы А находят любой, отличный от нуля минор (базисный минор) так, чтобы в СЛУ первыми стояли r строк базисного минора. При этом (m-r) оставшихся строк системы можно отбросить как не влияющих на решение системы, а (n-r) столбцов с соответствующими неизвестными можно перенести в правую часть системы, задав произвольным образом свободные переменные хj. Полученную систему r уравнений с r неизвестными можно решить к примеру методом Гаусса.