14. Метод стрельбы

Конспект помогли составить А. Батсайхан, В.С. Мищевская.

Метод стрельбы идейно прост, но он может страдать от неустойчивости, возникающей при решении задачи Коши.

Проиллюстрируем метод стрельбы на примере.

Рассмотрим уравнение

(14.1)

с граничными условиями и .

Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:

. (14.2)

Точным решением этой краевой задачи является функция

.

Находим постоянные из краевого условия (14.1):

_. (14.3)

Получим это решение методом стрельбы и сравним с (14.3). Делаем замену переменных

(14.4)

и ставим начальные условия задачи Коши

; , (14.5)

где s  неизвестная константа, подлежащая определению.

Находим новые константы и из начальных условий (14.5).

Точное решение задачи Коши дается выражением

, (14.6)

откуда видно, что значение u(1; s) очень чувствительно к изменению s.

Точное решение (14.3) краевой задачи получается при

. (14.7)

Если мы решим задачу Коши со значением s, определенным до двух десятичных знаков, скажем, при s = 9,99, то начиная с некоторого t* решение начнет расти к бесконечности. Значение t* вычисляется ниже.

Вследствие этого для получения хорошего приближения к решению краевой задачи требуется значительно более точное значение s.

Проблема, конечно, связана с тем, что решение задачи Коши растет, как и, чтобы подавить эту быстро растущую компоненту, начальное условие приходится определять очень точно.

В силу того, что в решении (14.3) есть растущая экспонента, это точное решение является неустойчивым относительно возмущения начального условия.

Действительно, рассмотрим возмущенное начальное условие:

, 0 < ε << 1, , (14.8)

 бесконечно малая величина

Тогда константа в (14.6) имеет вид:

, .

При решения естественно переходят в (14.6).

Вычислим

Однако никакая бесконечно малая величина не содержит роста экспоненты .

Решение u(t) убывает, а затем при t > t растет.

Значение t определяется из необходимого условия экстремума:

,

, .

Теперь применим метод Эйлера к системе (14.4) и получим систему разностных уравнений:

. (14.9)

В силу того, что известно точное решение, воспользуемся вторым замечательным пределом. Выберем .

Решение этой системы разностных уравнений имеет вид

. (14.10)

В первые слагаемые в (14.10) входит член содержащий (110h) < 1, что дает убывающую функцию. Второе слагаемое растет, т.к. в него входит (1+10h) >1. Экспоненты здесь аппроксимируются степенными функциями.

Таким образом, с помощью решения неустойчивой задачи можно построить решение краевой задачи (14.1), если правильно подобрать s.

14. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1973.

2. Данилина Н.И., Дубровская Н.С., Кваша О.П., Смирнов Г.Л., Феклисов Г.И. Численные методы. М.: Высшая школа, 1976.

3. Воеводин В.В. Численные методы решения задач линейной алгебры. М.: Наука, 1973.

4. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1977.

5. Дж. Ортега, У. Пул. Введение в численные методы, решение дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1986.

6. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1974.

7. Власов Ю.П., Посвянский В.П. Численные методы задач линейной алгебры. М.: МГУ путей сообщения, 2002.

8.Воробьев Е.М. Введение в систему

математика.-М.:Финансы и статистика, 1998.-261с.

9. Волосов K.A. Конструирование решений

квазилинейных параболических уравнений в

параметрической форме.

Дифф. уравн. 2007, Т.43, В.4, C.492-497,

Differential Equations-2007,V. 43,N 4, P.507-512.

10. Волосов K.A. Формулы для точных решений

квазилинейных уравнений с частными производными

в неявной форме.

Доклады АН 2008,т.77, н.1,С.1-4. Dokludy Akademii

Nauk. 2008, V.418, No.1, pp.11-14.

11 Волосов K.A. Диссертация на соискание уч.ст.

д.ф-м.н., "Методика анализа эволюционных систем с распределенными параметрами" , 2007, МИЭМ. Диссертация выставлена на сайте "Мир

дифференциальных уравнений",http:$//$ eqworld.ipmnet.ru.

12. Маслов В.П., Данилов В.Г., Волосов К.А.,

Математическое моделирование процессов

тепломассопереноса (эволюция диссипативных структур). М.,Наука, 1987.

13. Maslov V.P., Danilov V.G., Volosov K.A. Mathematical Modelling of Heat and Mass transfer Processes. Kluver Academic Publishers. Dordrecht, Boston, London, 1995, 316.