- •1.Класичне означення імовірності події. Властивості імовірності. Теорема добутку імовірностей та наслідки з неї.
- •2.Довести теорему суми імовірностей та 3 наслідки з неї.
- •3.Довести теореми (формула повної імовірності та формули Байєса.
- •4.Дискретні випадкові величини - двв. Закони розподілу ймовірностей для двв. Дії над двв
- •5.Математичне сподівання дискретної випадкової величини та його властивості. Довести (на вибір) три з них.
- •6.Дисперсія дискретної випадкової величини та її властивості. Довести 3 з них на вибір. Середнє квадратичне відхилення.
- •8.Неперервні випадкові величини - нвв. Означення інтегральної функції розподілу та доведення її властивостей.
- •9.Означення диференціальної функції розподілу (щільності розподілу ймовірностей) та доведення її властивостей.
- •10.Означення нормального закону розподілу. Вивести формулу для імовірності попадання значень нормально розподіленої вв до заданого проміжку, наслідок. Правило «трьох сигм».
- •11.Закон показникового розподілу, або показниковий закон. Інтегральна функція розподілу ймовірностей для показникового закону. Мс та дисперсія для показникового закону.
- •12.Закон рівномірного розподілу, або рівномірний закон. Інтегральна функція розподілу ймовірностей для рівномірного розподілу ймовірностей. Мс та дисперсія для показникового закону.
- •13.Центральна гранична теорема.Муавр Лаплас
- •16.Корелят момент.Коефициент кореляції
- •17.Функц, статистична,та корелят залежності..
- •18.Коефіцієнт детермінації (r2)
- •1.Класичне означення імовірності події. Властивості імовірності. Теорема добутку імовірностей та наслідки з неї.
- •2.Довести теорему суми імовірностей та 3 наслідки з неї.
10.Означення нормального закону розподілу. Вивести формулу для імовірності попадання значень нормально розподіленої вв до заданого проміжку, наслідок. Правило «трьох сигм».
НВВ розподілена за нормальним законом з параметрами а та δ>0, при чому ХєN(a;b), якщо її щільність розподілу ймовірностей має вигляд:
φ(х)= . Числові характеристики: M(X)=a, D(X)=δ2 і δ(Х)= δ.
Імовірність попадання значень нормально розподіленої ВВ Х до проміжку [x1;x2] знаходиться за формулою:
P(x1≤X≤x2)=Ф((x2-а)/σ) - Ф((x1-а)/σ).
Доведення. P(x1≤X≤x2)=F(x2)-F(x1)= виразимо F через інтегральну функцію Лапласа = ½ +Ф((x2-а)/σ) – [1/2 + Ф((x1-а)/σ)]= Ф((x2-а)/σ) - Ф((x1-а)/σ).
Наслідок. Імовірність того, що модуль відхилення нормально розподіленої ВВ Х від свого математичного сподівання не перевищить величину ε>0, дорівнює: P(|X-a|≤ε)=2Ф(ε/σ).
Доведення. P(|X-a|≤ε)= розкриємо модуль = P(a-ε<X<a+ε)= за формулою імовірності попадання значень нормально розподіленої ВВ Х = Ф((а+ε-а)/σ)-Ф((а-ε-а)/σ) = Ф(ε/σ) + Ф(ε/σ)= 2Ф(ε/σ).
Правило «трьох сигм». Із практичною достовірністю (з імовірністю 0,9973) можна стверджувати, що значення нормально розподіленої ВВ Х попадають до проміжка:
[a-3σ;a+3σ].
Доведення. Використовуючи наслідок, можна стверджувати, що при ε=3σ, Р[a-3σ;a+3σ] = 2Ф(3σ/σ)=2Ф(3)=0,9973.
11.Закон показникового розподілу, або показниковий закон. Інтегральна функція розподілу ймовірностей для показникового закону. Мс та дисперсія для показникового закону.
НВВ Х називається розподіленою за показниковим законом з параметром λ>0, якщо її щільність розподілу ймовірностей має вигляд:
φ(х)=
Інтегральна функція розподілу для НВВ Х, що розподілена за показниковим розподілом, має вигляд:
F(x)=
Числові характеристики обчислюються за формулами:
M(X)=1/λ
D(X)=1/λ2
σ(X)= 1/λ
12.Закон рівномірного розподілу, або рівномірний закон. Інтегральна функція розподілу ймовірностей для рівномірного розподілу ймовірностей. Мс та дисперсія для показникового закону.
НВВ Х називається рівномірно розподіленою на проміжку [a;b], якщо щільність розподілу ймовірностей стала на цьому проміжку, а поза цим проміжком дорівнює 0, тобто:
φ(х)=
Щільність рівномірно розподіленої ВВ має вигляд:
φ(х)=
Функція розподілу рівномірно розподіленої НВВ Х:
F(x)=
Числові характеристики:
М(Х)=(a+b)/2.
Доведення. М(Х)= = розіб’ємо на окремі інтеграли = = 1/(b-a)*x2/2|ab=
1/(b-a)* = (b+a)/2=(a+b)/2 – середина (центр розподілу).
2. D(X)=(b-a)2/12
Доведення. D(X)= = розіб’ємо на окремі інтеграли = + = 1(b-a)*x3/3|ab – (a+b)2/4 = 1/(b-a)*(b3-a3)/3 – (a+b)2/4 = (b2+ab+a2)/3 – (a2+2ab+b2)/4 = (b2-2ab+a2)/12 = (b-a)2/12.
3. σ(X)= .