- •1.Понятие о системном подходе и системном анализе
- •1.Системные исследования
- •2.Системный подход
- •3.Системный анализ
- •4.Системные исследования в менеджменте качества
- •2.Определение системы
- •1.Определение понятия «система»
- •2.Основные понятия, входящие в определение системы
- •3.Классификация системы
- •4.Понятие о системе качества
- •3.Определение и описание структуры системы
- •1.Понятие о структуре
- •2.Структурные схемы
- •3.Графы структуры
- •3.3Матричная форма записи графа
- •3.4.Списковая форма записи графа
- •4.Анализ структуры системы
- •1.Анализ элементов
- •2.Анализ связи
- •3.Диаметр структуры
- •5.Анализ структуры системы
- •4.Связность
- •5.Степень централизации
- •6.Сложность
- •7.Структурный анализ систем менеджмента качества
- •6.Информационные модели системы
- •1.Определение информационного анализа
- •2.Графическая схема (модель) процесса
- •3.Построение информационной модели процесса
- •7.Определение и описание функциональной системы
- •1.Определение функций системы
- •2.Классификация функций системы
- •3.Описание функций
- •4.Функциональная модель системы
- •8.Методология функционального анализа систем sadt (idef)
- •1.Истоки методологии sadt
- •2.Sadt-модель системы
- •3.Декомпозиция sadt-модели
- •10.Анализ иерархии системы
- •1.Понятие об иерархическом анализе
- •2.Метод анализа иерархии т. Саати
- •3.Построение иерархии
- •11.Матрицы парных сравнений
- •1.Понятие о матрицах парных сравнений
- •2.Шкала отношений
- •3.Правила заполнения матрицы парных сравнений
- •12.Определение вектора приоритетов иерархии
- •1.Понятие о векторе приоритетов
- •2.Методы вычисления собственного вектора матрицы парных сравнений
- •3.Оценка согласованности (однородности) суждений экспертов
- •4. Определение результирующего вектора приоритета.
- •13.Основные направления математического анализа систем
- •1. Понятие о математическом анализе систем
- •2. Логический анализ систем
- •3. Физическая интерпретация формальных систем
- •4. Пример интерпретации формальной системы
- •13.Математическое моделирование систем
- •1. Классификация моделей
- •2. Характеристики основных классов моделей систем
- •3. Оптимизация решений, принимаемых при проектировании и эксплуатации систем
- •15.Модель принятия решений человеком
- •1. Процесс принятия решений человеком
- •2. Общая схема принятия решений
- •3. Задача принятия решений
- •4. Формальная модель принятия решений
- •16.Постановка задачи выбора решений
- •1. Классификация задач принятия решений
- •2. Принятие решений в условиях определенности
- •3. Виды неопределенности задачи принятия решений
- •14.Комбинаторно-морфологический метод оптимизации решения
- •1. Понятие о морфологическом анализе и синтезе систем
- •2. Морфологические таблицы
- •3. Обобщенный алгоритм комбинаторно-морфологического метода оптимизации решения
- •17.Задача линейного программирования
- •1. Постановка задачи линейного программирования
- •2. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования
- •20.Симплекс-метод решения задачи линейного программирования
- •1. Фундаментальная теорема линейного программирования
- •4. Альтернативный оптимум
- •18.Нелинейное программирование
- •1. Постановка задачи
- •2. Графическая иллюстрация задачи нелинейного программирования
- •3. Методы условной и безусловной оптимизации
- •4. Классический метод определения условного экстремума
- •5. Метод множителей Лагранжа
- •19.Поисковые методы оптимизации
- •1. Непосредственные градиентные методы
- •2. Поиск по способу «оврагов»
- •9.Поисковые методы оптимизации
- •3. Метод зигзагообразного поиска
- •4. Метод функций штрафа
- •5. Метод случайного поиска
4. Альтернативный оптимум
В задачах линейного программирования могут встретиться несколько опорных оптимальных решений (альтернативный оптимум). Графическая иллюстрация альтернативного оптимума показана на рис. 17.3.
Рис. 17.3. Графическая иллюстрация альтернативного оптимума
В трехмерном случае плоскость целевой функции Z в крайнем положении проходит через грань многогранника допустимых решений. Оптимальное решение задачи – это любая точка указанной грани.
18.Нелинейное программирование
1. Постановка задачи
Задача нелинейного программирования в общем виде формулируется следующим образом: «Найти
(18.1)
при условиях
(18.2)
функции f, g1,…, gn нелинейны».
В отличии от задач линейного программирования для задач нелинейного программирования общего метода решения нет
2. Графическая иллюстрация задачи нелинейного программирования
Пример 1
Пусть допустимая область определяется следующими ограничениями:
Графическая иллюстрация области допустимых решений приведена на рис. 18.1.
Рис. 18.1. Область допустимых решений
Пример 2
Допустимая область:
Рис. 18.2. Область допустимых решений
Пример 3
Найти максимум целевой функции
при ограничениях
Графическая иллюстрация этой задачи показана на рис. 18.3.
Рис. 18.3. Графическая иллюстрация задачи нелинейного программирования
Задаваясь значениями целевой функции , строится семейство эллипсов с общими осями (линии уровня целевой функции). Как видно из рис.18.3 точка О1 с координатами х1=4 и х2=6 является решением задачи, т.к. в ней достигается максимум целевой функции на границе области допустимых решений.
3. Методы условной и безусловной оптимизации
(см. курс высшей математики)
В курсе высшей математики изучались методы безусловной оптимизации, когда ограничения на переменную отсутствуют (исследование максимума и минимума функции, т.е. исследование функции на экстремум).
В данной лекции мы будем изучать методы условной оптимизации, т.е. метод определения экстремума целевой функции при наличии ограничений.
4. Классический метод определения условного экстремума
Процесс решения состоит:
1.В определении внутри допустимого множества всех стационарных точек целевой функции , удовлетворяющих условию
2.В проверке всех стационарных точек на максимум или минимум;
3.В сравнении этих значений с максимальными (минимальными) значениями, которых достигает целевая функция f на границе допустимого множества и выбор из них наиболее экстремальных.
Главный недостаток классического метода – отсутствие стандартизированной процедуры поиска оптимального решения, пригодной для любых видов ограничений.
5. Метод множителей Лагранжа
Используя этот метод можно отыскать максимум или минимум целевой функции при ограничении типа равенства. Основная идея метода заключается в переходе от задачи на условный экстремум (с ограничениями) к задаче отыскания экстремума специально построенной функции Лагранжа без ограничений. Рассмотрим следующую задачу
Найти
(18.3)
при ограничениях
(18.4)
причем функции f, g1,…,gm предполагают дифференцирование.
Вводится набор переменных (по числу ограничений), которые называются множителями Лагранжа, и составляется функция Лагранжа следующего вида
(18.5)
Необходимыми условиями того, что точка представляет собой решение задачи (18.3) при ограничениях (18.4), будет выполнение следующих правил
(18.6)
(18.7)
Итак, метод множителей Лагранжа для задачи вида (18.3) с ограничениями (18.4) состоит из следующих этапов:
Составление функции Лагранжа (18.5);
Нахождение частных производных функции по всем и и получение системы (18.6) из (n+m) уравнений с (n+m) переменными ;
Решение уравнений (18.6) и (18.7), нахождение точек , где имеются относительные экстремумы. Найденные точки исследуются на максимум и минимум