1.9.Примеры и задачи

Пример 1.1.

Определить скорость фильтрации и действительная скорость движения нефти у стенки гидродинамически совершенной скважины, если известно, что толщина пласта h = 10 м, коэффициент пористости m = 12%, радиус скважины r_c = 0,1 м, массовый дебит скважины Q_m = 50 т/сут и плотность нефти  = 850 кг/м³.

Решение:

Q_m=50 т/сут = 50000/86400 кг/с = 0,589 кг/с.

m = 12% = 0,012.

Приток к скважине представляет собой плоскорадиальный поток. Поэтому площадь поперечного сечения равна  = 2  r_c h. Объемный расход связан с массовым расходом соотношением Q = Q_m/. Тогда скорость фильтрации будет определятся:

Действительная скорость движения нефти

v = u/m = 1,10 10^-4/0,12 = 9,19 10^-4 м/с.

Ответ: u = 1,10 10^-4 м/с. v = 9,19 10^-4 м/с.

2.Неустановившаяся фильтрация газа в пористой среде

Дифференциальное уравнение неустановившейся фильтрации газа в пористой среде по закону Дарси. Лианеризация уравнения. Исследование газовых скважин при нестационарных режимах.

2.1.Дифференциальное уравнение неустановившейся фильтрации газа в пористой

Обратимся к общему дифференциальному уравнению неустановившегося движения сжимаемой жидкости по закону Дарси в деформируемой пористой среде, выведенному в гл. 1:

.

(2.0)

Считаем, что фильтрация происходит по закону Дарси, а проницаемость и динамическая вязкость постоянны:

(2.0)

Используем уравнения состояния идеального газа

,

(2.0)

а пористою среду считаем несжимаемой (m = const). Это связано с тем обстоятельством, что газ сжимается гораздо больше, чем пористая среда. Подставим скорости фильтрации в уравнение неразрывности

.

(2.0)

Введем понятие функция Лейбензона, которая определяется следующим образом:

(2.0)

Для идеального газа функция Лейбензона определяется следующим образом

(2.0)

Преобразуем производную от плотности по времени. Будем считать, что плотность зависит от давления, а давление зависит от функции Лейбензона, тогда:

.

(2.0)

Подставим производную от плотности по давлению в уравнение (2.4)

,

(2.0)

где  - коэффициент пьезопроводности для газового пласта, м²/с.

Полученное уравнение нестационарной фильтрации газа называется уравнением Лейбензона и представляет собой нелинейное уравнение параболического типа. Для нелинейных уравнений не действует принцип суперпозиции решений, поэтому получить аналитическое решение конкретной задачи в общем виде затруднительно. Поэтому для того, чтобы уравнение сделать линейным (линейные уравнения относительно просто решаются) необходимо множитель перед круглой скобкой в уравнении (??) сделать постоянным. Так, как в большей части пласта давление близко к контурному, то заменим в множителе давление на среднее давление в пласте, тогда и уравнение запишется

Сравнение уравнений неустановившейся фильтрации жидкости и лианеризиравнных уравнений неустановившейся фильтрации газа позволяет установить аналогию между этими уравнениями. Отсюда следует вывод, что все формулы, полученные для неустановившейся фильтрации жидкости по закону Дарси, можно использовать и для неустановившейся фильтрации идеального газаа в пластах той же геометрии и при тех же граничных условиях. Для этого необходимо в формулах неустановившейся фильтрации жидкости заменить:

линейную скорость - u  u_m - массовую скорость;

объемный расход - Q  Q_m = ρ_ат Q_ат - массовый расход;

давление - p   - функцию Лейбензона;

коэффициент пьезопроводности

нефтяного пласта -   - газового пласта.