25. Определение скалярного произведения векторов в n-мерном векторном пространстве, его свойства. Евклидово действительное пространство. Ортогональный и ортонормированный базис в пространстве.

Ортогональный базис:

1) Два вектора называются ортогональными (перпендикулярными), если угол между ними прямой.

2) Система векторов называется ортогональной, если все векторы, образующие её попарно ортогональны.

Ортонормированный базис:

1) Система векторов называется ортонормированной, если она ортогональна и длина каждого вектора = 1.

С калярное произведение векторов(ab, (a,b),a*b)–скалярным произведением ненулевых векторов а и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: (a,b) =  |a | *  |b | * cos = |b| * проекцию b на a

Свойства скалярного произведения:

1 ) (a , b) = (b, a)

2 ) (λa, b) = λ (a, b)

3 ) (a, b + c) = (a, b) + ( a , c)

4 ) (a , a) = | a|^2

5 ) (a, b) = 0, когдаa |b

6 )еслиa |b,то (a, b) = 0

Евклидово пространство - в изначальном смысле, пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность 3.В современном понимании, в более общем смысле, может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов. Обычно n-мерное евклидово пространство обозначается  , хотя часто используется не вполне приемлемое обозначение  .

Конечномерное гильбертово пространство, то есть конечномерное вещественное векторное пространство   с введённым на нём (положительно определенным)скалярным произведением, порождающим норму:

,

в простейшем случае (евклидова норма):

где   (в евклидовом пространстве всегда можно выбрать базис, в котором верен именно этот простейший вариант).

26. Собственные векторы матриц. Собственные числа матриц. Характеристическое уравнение. Базис определяемый собственными векторами матрицы.

Нахождение собственных чисел и собственных векторов матриц: Собственными числами матрицы   являются корни уравнения|А- λE| = 0и только они.

Пусть столбец a  - собственный вектор матрицы   с собственным числом   . Тогда, по определению,   . Это равенство можно переписать в видеАа – л а = 0  . Так как для единичной матрицы   выполнено   , то Аa –λEa = 0  . По свойству матричного умножения (A –λE)a = Aa–λEa  и предыдущее равенство принимает вид

(A)

Допустим, что определитель матрицыA – л E  отличен от нуля, |A – л E|≠ 0 . Тогда у этой матрицы существует обратная (A – л Е)^-1  . Из равенства (А) получим, что  а = (А – л Е)^-1 * 0 = 0 , что противоречит определению собственного вектора. Значит, предположение, что | A – л Е| ≠ 0, неверно, то есть все собственные числа должны являться корнями уравнения|А –л Е| = 0 .

Пусть A — это квадратная матрица. Вектор v называется собственным вектором матрицы A, если Av = λv, где число λ называется собственным значением матрицы A. Таким образом преобразование, которое выполняет матрица A над вектором v, сводится к простому растяжению или сжатию с коэффициентом λ. Собственный вектор определяется с точностью до умножения на константу α ≠ 0, т.е. если v — собственный вектор, то и αv— тоже собственный вектор. 

Характеристическое уравнение матрицы— алгебраическое уравнение вида

 ;

определитель, стоящий в левой части Х. у., получается из определителя матрицы А = ||a_ik||ⁿ₁ вычитанием величины l из диагональных элементов. Этот определитель представляет собой многочлен относительно Х — характеристический многочлен. В раскрытом виде Х. у. записывается так:

 ,

где S₁ = a₁₁ + a₂₂ +... a_nn — т. н. след матрицы, S₂ — сумма всех главных миноров 2-го порядка, т. е. миноров вида    (i < k) и т.д., а S_n — определитель матрицы А. Корни Х. у. l₁, l₂,..., l_n называются собственными значениями матрицы А. У действительной симметричной матрицы, а также у эрмитовой матрицы все l_k действительны, у действительной кососимметричной матрицы все l_k чистомнимые числа; в случае действительной ортогональной матрицы, а также унитарной матрицы все |l_k| = 1.

Базис, определяемый собственными векторами матрицы: