- •1.Матрицы. Основные понятия. Виды матриц.
- •2.Линейные операции над матрицами. Св-ва операций.
- •3.Нелинейные операции над матрицами. Св-ва операций.
- •4. Определители. Основные понятия. Свойства определителей.
- •Свойства определителей
- •5.Вычисление определителей 2-го и 3-го порядков. Св-ва определит.(сумма опред., тождественные преобраз., сумма произвед. Эл-ов строк и столбцов)
- •Свойства определителей
- •6.Определители. Минор. Алгебраическое дополнение. Теорема Лапласа.
- •1. Метод окаймляющих миноров
- •2. Метод элементарных преобразований
- •Билет 11. Понятие линейной зависимость и линейной независимости строк (столбцов) матрицы. Теорема о ранге матрицы.
- •12. Системы линейных алгебраических уравнений (слау). Основные понятия. Матричная форма записи слау.
- •13. Системы лин.Ур-ий. Реш-ие сист. Лин. Ур-ий. Теорема Кронекера-Капелли.
- •14. Решение невырожденных систем линейных ур-ий. Теорема Крамера. Привести пример решения слау методом Крамера.
- •1 6. Решение систем линейных ур-ий методом исключения Гаусса (алгоритм решения, достоинства и недостатки данного метода).
- •Пример расчета межотраслевого баланса
- •22. Векторное произведение. Представление в виде определителя. Ориентация результирующего вектора. Модуль векторного произведения, его геометрический смысл.
- •23.Общее определение линейного пространства. Линейное векторное пространство. Примеры линейных пространств.
- •25. Определение скалярного произведения векторов в n-мерном векторном пространстве, его свойства. Евклидово действительное пространство. Ортогональный и ортонормированный базис в пространстве.
- •26. Собственные векторы матриц. Собственные числа матриц. Характеристическое уравнение. Базис определяемый собственными векторами матрицы.
- •27. Виды систем координат на плоскости. Уравнения связи декартовых и полярных координат. Примеры.
- •28. Прямая на плоскости. Виды задания прямой на плоскости. Взаимное расположение прямых на плоскости.
- •32.Плоскость в трехмерном пространстве. Виды задания пл-тей.
22. Векторное произведение. Представление в виде определителя. Ориентация результирующего вектора. Модуль векторного произведения, его геометрический смысл.
Векторное произведение векторов: ( с = [ab] = [a,b])
1) векторсназывается векторным произведением, не компланарных(лежат не в одной плоскости) векторов a и b, если его длина равна произведению длин векторов aиb на синус угла между ними : ;
2) векторcортогонален(перпендикулярен) векторам a и b;
3) векторы a, bиcобразуют правую тройку.
Свойства векторного произведения: (алгебраические)
1 )д ля любых векторов a, bиc, и действительного числа Л выполняется следующее свойство: [ a , b] = - [ b , a] ;
2 ) [ a + b , c] = [ a + c ] + [ b , c ] ;
3) [λa , b ] = Л [ a , b ].
Геометрически свойства векторного произведения:
1)модуль вектороного произведения чесленно равен площади параллелограмма, построенного на векторах aи b;
2) векторное произведение = нулевому вектору, тогда и только тогда, когда множители коллинеарны(если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой).
Представление в виде определителя:
Если система координат левая, то их векторное произведение имеет вид:
Результирующий вектор- средний вектор, т. е. векторная сумма составляющих векторов. Вычисляется за некоторый период времени.
23.Общее определение линейного пространства. Линейное векторное пространство. Примеры линейных пространств.
Л инейным (векторным) пространством называется множество Vпроизвольных элементов, названных векторами, в котором определены операции сложения и умножения вектора на число.
С умма :U + V, U, V Vлинейные операции
Умножение: λ*U, U V
Аксиомы (свойства) линейного пространства:
1) , для любых (коммутативность сложения);
2) , для любых (ассоциативность сложения);
3) существует такой элемент , что для любого (существование нейтрального элемента относительно сложения), в частности L не пусто;
4) для любого существует такой элемент , что (существование противоположного элемента относительно сложения).
5) (ассоциативность умножения на скаляр);
6) (унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля P сохраняет вектор).
7) (дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров);
8) (дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов).
Пример линейного пространства:
Гильбертово пространство- пространство последовательностей со сходящимся рядом квадратов. Элементами (векторами) такого пространства являются бесконечные числовые последовательности x = (x1, x2,..., xn,...) такие, что ряд x21 + x22 +... + х2n + ... сходится.
24. n-мерное линейное векторное пространство. Размерность и базис векторного пространства. Разложение вектора по системе векторов. Переход к новому базису.
n-мерное векторное пространство – пространство, имеющее n измерений (размерности n). Обычно этот термин применяется к пространству размерностью более трёх. При n=∞ имеем бесконечномерное пространство.
Размерность векторного пространства -максимальное число линейно-независимых векторов в векторном (линейном) пространстве. Если это число конечно, то пространство называется конечномерным (многомерным). В противном случае — бесконечномерным.
Базис векторного пространства - набор из максимального (для данногопространства) числа линейно независимых векторов. Следовательно, все остальные векторы пространства оказываются линейными комбинациями базисных. Если все базисные векторы взаимно ортогональны, а длина каждого из них равна единице, то базис называетсяортонормированным. Единичный базисный вектор называют ортом (обозначается ei, где i — номер координаты).
Каждый вектор пространства может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов: a = ∑aiei. Коэффициенты разложения ai однозначно определяют вектор a. Поэтому часто говорят, что n-мерный вектор — это упорядоченная совокупность n чисел {ai}. Размерность векторного пространства равна количеству векторов, составляющих его базис.
Разложение вектора по системе векторов:
Пусть – произвольный вектор, – произвольная система векторов. Если выполняется равенство
, (1)
то говорят, что вектор представлен в виде линейной комбинации данной системы векторов. Если данная система векторов является базисом векторного пространства, то равенство (1) называется разложением вектора по базису . Коэффициенты линейной комбинации называются в этом случае координатами вектора относительно базиса .
Переход к новому базису:
Вектор в старом базисе:
В новом:
Старые координаты связаны с новыми
Решив эту систему с помощью обратной матрицы, найду координаты вектора в новом базисе Матрица, связывающая старые и новые координаты:
Новые и старые координаты связаны отношением: b=BbI b – матрица старых координат; B – матрица, связывающая координаты старые и новые; BI – матрица новых координат. Отсюда: bI=B-1b Найду обратную матрицу B-1.
Определитель ≠0 , значит обратная матрица существует. Найду алгебраические дополнения: