Вопрос № 18 Момент инерции: выражение через плотность, интеграл по объёму тела.

Из определения видно, что момент инерции есть величина аддитивная. Это означает, что момент инерции тела равен сумме моментов инерции его частей.

Каждое тело независимо от того, вращается оно или покоится, обладает определенным моментом инерции относительно любой оси, подобно тому как тело обладает массой независимо от того, движется оно или находится в покое.

Распределение массы в пределах тела можно охарактеризовать величиной, называемой плотностью. Если тело однородно Для тела с неравномерно распределенной массой плотность в данной точке определяется в этом случае следующим образом Элементарная масса Dm_i равна произведению плотности тела r_i в данной точке на соответствующий элементарный объем DV_i: Это соотношения является приближенными, и тем более точными, чем меньше элементарные объемы DV_i и соответствующие им элементарные массы Dm_i. Задача сводится к интегрированию

Найдем момент инерции диска относительно оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через его центр.

Разобьем диск на кольцевые слои толщины dR. Все точки одного слоя будут находиться на одинаковом расстоянии от оси, равном R.

Значения моментов инерции для некоторых тел (тела предполагаются однородными, m — масса тела).

Момент инерции стержня относительно оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его середину равен (b <<l).

М омент инерции диска или цилиндра относительно оси, совпадающей с геометрической осью цилиндра (при любом отношении R к l )

Момент инерции шара радиуса R относительно оси, проходящей через его центр

Вопрос № 19 Теорема Штейнера, доказательство (момент инерции относительно произвольной оси).

Н ахождение момента инерции является не сложным, если искать момент инерции относительно оси симметрии. Если бы мы захотели найти момент инерции диска относительно, например, оси О'О', вычисления оказались бы более сложными.

Теорема Штейнера: момент инерции I относительно произвольной оси равен сумме момента инерции I_C относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела т на квадрат расстояния а между осями:

Р ассмотрим ось С, проходящую через центр масс тела, и параллельную ей ось О.Обозначим через , перпендикулярный к оси С вектор, проведенный от оси к элементарной массе Dm_i

Момент инерции тела относительно оси О

Последнее слагаемое в этом выражении есть момент инерции тела относительно оси С - I_c. Сумма равна произведению массы тела на вектор, проведенный от оси С к центру масс тела. Поскольку центр инерции лежит на оси С, этот вектор и второе слагаемое в равны нулю.

Таким образом, мы приходим к выводу

Вопрос № 20

Кинетическая энергия твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Работа внешних сил при вращении. Кинетическая энергия тела при плоском движении (через скорость центра масс и момент инерции

(без вывода))

Линейная скорость элементарной массы тi равна υi=ωRi, где Ri – расстояние массы тi от оси z. Кинетическая энергия тела равна сумме кинетических энергий его частей:

Рассмотрим работу, совершаемую всеми приложенными к телу. Эта работа, идет на приращение его кинетической энергии.

При вращении тела внутренние силы работы не совершают (так как сумма их моментов равна нулю), работа же внешних сил определяется формулой.

При плоском движении, когда тело одновременно вращается и двигается поступательно (катится колесо), кинетическую энергию можно записать