- •Содержание
- •Введение Начертательная геометрия является одним из разделов геометрии, в котором пространственные фигуры изучаются по их проекционным изображениям.
- •1.Основные методы проецирования геометрических
- •1.1. Центральное проецирование
- •1.2. Параллельное проецирование
- •1.3. Ортогональное проецирование
- •Расположение геометрических объектов в октантах пространства
- •3. Ортогональное проецирование прямых
- •Особые положения прямой
- •3.2. Следы прямой
- •3.3. Взаимное положение прямых
- •3.4. Проецирование угла, составленного двумя прямыми
- •3.5. Определение натуральной величины отрезка прямой
- •4. Проецирование плоскостей
- •4.1. Способы задания плоскости
- •4.2. Следы плоскости
- •4.3. Частные случаи расположения плоскости
- •4.4. Линия наибольшего ската плоскости
- •4.5. Горизонталь и фронталь плоскости
- •4.6. Построение следов плоскостей
- •Через точки m’, n’ проводят след pv, через точки m, n – след рн.
- •5. Взаимное расположение точки, прямой и плоскости
- •5.1. Пересечение прямой с плоскостью
- •5.2. Прямая, параллельная плоскости
- •5.3. Прямая, перпендикулярная плоскости
- •5.4. Угол между прямой и плоскостью
- •5.5. Параллельные плоскости
- •5.6. Перпендикулярные плоскости
- •5.7.Пересечение плоскостей
- •5.8. Угол между двумя плоскостями
- •6. Способы преобразований ортогональных проекций
- •6..1. Способ вращения
- •6.2. Способ совмещения
- •6.3. Способ перемены плоскостей проекций
- •6.4. Плоско – параллельное перемещение
- •7. Пересечение поверхности плоскостью развертка поверхности Понятия и определения.
- •7.1 Построение линии пересечения поверхности плоскостью способом граней
- •7.2 Построение линии пересечения поверхности плоскостью способом ребер
- •7.3 Построение линии пересечения поверхности плоскостью способом перемены плоскостей проекций
- •8. Пересечение поверхностей
- •Построение линии пересечения поверхностей с помощью плоскостей, параллельных одной из плоскостей проекций
- •Построение линии пересечения поверхностей с помощью пучка
- •Построение линии пересечения поверхностей с помощью параллельных плоскостей общего положения
- •8.4. Построение линии пересечения поверхностей с помощью сферических
- •8.5. Построение линии пересечения многогранников
- •Литература
Построение линии пересечения поверхностей с помощью параллельных плоскостей общего положения
Способ применяется для построения цилиндрических поверхностей, оси которых представляют линии общего положения.
Сущность способа заключается в определении наиболее рационального положения вспомогательных плоскостей. Эти плоскости располагаются параллельно осям цилиндрических поверхностей.
Рассматривается пример построения линии пересечения двух цилиндров, оси которых – прямые общего положения (рис. 78).
Построение линии пересечения поверхностей выполняется в следующем порядке:
На фронтальной проекции определяется точка пересечения проекций осей цилиндров – точка А’ и точки пересечения осей цилиндров с плоскостью Н – точки В’ и C’.
На линии, перпендикулярной оси Х и проходящей через точку А’ выбирается произвольно горизонтальная проекция точки А.
Через эту точку проводятся линии АВ и АС, параллельные соответствующим осям цилиндров.
В результате построений получают две проекции треугольника АВС: причем – ВС есть горизонтальный след плоскости.
Любая плоскость, проведенная параллельно фигуре АВС пересекает каждый из цилиндров по образующим, а горизонтальный след плоскости будет параллелен прямой ВС.
Проводится плоскость Q1 касательная к цилиндру . След Q1H этой плоскости касается основания цилиндра в точке 3 и пересекает основание цилиндра в точках 1 и 2.
Определяются точки пересечения образующей 3 цилиндра с образующими 1,2 цилиндра – точки a,b (см.рис.78).
Строится фронтальная проекция образующей 3 и на нее проецируются точки a,b – точки a’ ,b’.
Проводится плоскость Q2 касательная к цилиндру .. След Qн2 касается основания цилиндра в точке 4 и пересекает основание цилиндра в точках 5,6.
Определяются точки пересечения образующей 4 цилиндра с образующими 5,6 цилиндра - точки с,d.
Строится фронтальная проекция образующей 4 , и на нее проецируются точки с,d – точки с’,d’.
Проводятся плоскости Q3, Q4 и аналогичным образом определяются точки пересечения образующих цилиндров и - точки m, n, k, t, e, h, q.
Строятся фронтальные проекции образующих 8, 13, 14 и на них проецируется соответствующие перечисленные точки.
На горизонтальной и фронтальной проекциях точки a, b, с,d, m, n, k, t, e, h, q соединяются плавными линиями, которые представляют проекции линии пересечения поверхностей и .
8.4. Построение линии пересечения поверхностей с помощью сферических
поверхностей
Способ применяется для определения линии пересечения двух произвольных поверхностей вращения с пересекающими осями.
Способ основан на одном свойстве, присущем поверхностям вращения, которое состоит в том, что две любые соосные поверхности вращения
пересекаются по окружностям, проходящим через точки пересечения меридианов поверхностей [7].
В частном случае, если одна из поверхностей вращения – сфера, приведенное выше свойство можно сформулировать так: если центр сферы находится на оси поверхности вращения, то сфера пересечет данную поверхность по окружности. На одной из проекций эта окружность будет представлена линией, проведенной через точки пересечения сферы с меридианами поверхности вращения.
Рассматривается пример построения линии пересечения конусов и (рис.79).
На фронтальной проекции центр вспомогательных секущих сфер помещается в точке d .
Определяются минимальный и максимальный радиусы сфер. За минимальный принимается радиус окружности, касающейся образующих одной из поверхностей.
В рассматриваемом примере R min касается образующих конуса (см.рис.79).
Очевидно, если взять сферу с радиусом, меньшим R min, то она конус не пересечет.
За максимальный радиус принимается расстояние dd’ , т.е. радиус окружности, проходящий через точку пересечения образующих конусов и - точку d’ .
Для построения линии пересечения поверхностей используются секущие сферы с радиусами R1, R2, R3…. Rn , расположенных в диапазоне.
Rmin Ri Rmax
Выбирается сфера с центром в точке 0’ и радиусом R1. Эта сфера пересекает конус по окружности , с диаметром, равным длине отрезка 1’ - 2’ и конус - по окружности с диаметром 3’ – 4’. На фронтальной проекции полученные окружности проецируются в линии 1’-2’ и 3’-4’. Пересечение этих линий определяет точки h’,q’, принадлежащие линии пересечения плоскостей.
На горизонтальной проекции проводится окружность с центром в точке О и диаметром, равным отрезку 1’ – 2’ . На эту окружность проецируются точки h,q.
Выбирается сфера с радиусом R2. Эта сфера пересекает конус по окружности с диаметром, равным отрезку 5’ – 6’ и конус по окружности с диаметром 7’ – 8’ . Пересечение линий 5’ – 6’ и 7’ – 8’ определяет точки t’, q’.
Изменяя величину радиуса секущих сфер определяют точки пересечения поверхностей и .